Matemáticas IES - Matemáticas IES

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Calcular el valor presente de 5000 euros a pagar dentro de 10 años, a un 9% con
capitalizaciones mensuales.

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Calcula los valores de $b$ y $c$ para que la siguiente función sea derivable en el punto $x=2$

$f(x)= \left\{ \begin{array}{lcc} x^2+bx+c & si & x < 2 \\ \\ x & si & x \geq 2 \end{array} \right.$

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Dados los puntos $A(1,1,0)$ y $B(1,0-2)$ , se pide:

– a) Coordenadas del vector $\vec{v} = \vec{AB}$
– b) Módulo del vector $\vec{v}$
– c) Distancia entre los puntos $A$ y $B$

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Demuestra que $(b,-b)$ es un vector director de la recta $ax+ay=1$ , siendo $a \neq 0$ y $b \neq 0$

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Halla el vector unitario asociado al vector $\vec{u}(8,6)$

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Comprueba que los siguientes vectores forman una base:
$\vec{u} (1,1,0) \quad \vec{v} (1,0,1) \quad \vec{w} (0,1,1)$

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Comprueba que los siguientes vectores forman una base:
$\vec{u} (-1,1,1) \quad \vec{v} (1,-1,1) \quad \vec{w} (1,1,-1)$

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Comprueba que los siguientes vectores forman una base:
$\vec{u} (-1,1,1) \quad \vec{v} (1,-1,1) \quad \vec{w} (1,1,-1)$

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Considera los puntos $A(1,0-1)$ , $B(2,1,0)$ y $C(1,1,0)$

– a) Determina los vectores $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$
– b) Calcula la distancia entre los puntos $A$ y $B$
– c) Calcula el producto escalar $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$
– d) Calcula el producto vectorial $\vec{AB} \times \vec{AC}$
– e) Halla el área del triángulo determinado por los puntos $A$ , $B$ y $C$

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Consideramos los puntos $A(1,2,3)$ , $B(-1,0,1)$ y $C(2,0,1)$ .

– a) Calcula $d(A,B)$ (distancia entre los puntos A y B)
– b) $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$ (producto escalar)
– c) Calcula el perímetro del triángulo de vértices A, B y C
– d) Halla el área del triángulo de vértices A, B y C

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Halla el valor de $m$ para que los vectores $\vec{u}(m,2,3)$ y $\vec{v}(2,-3,5)$ sean ortogonales

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Dados los vectores $\vec{v_1}=(3,-1,4)$ ; $\vec{v_2}=(-3,0,5)$ ; $\vec{v_3}=(2,1,0)$ se pide:

a) ¿Forman una base de ${\Re}^3$ ? ¿Por qué?

b) Realiza las siguientes operaciones:

b1) $\vec{v_1} - (\vec{v_2} - 2 \vec{v_3})$

b2) $\vec{v_2} \cdot \vec{v_3}$

b3) $\vec{v_1} \times \vec{v_3}$

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Considera los puntos $A(0,0,1)$ , $B(1,0,-1)$ , $C(0,1,-2)$ y $D(1,2,0)$

– a) Calcula el módulo de los vectores $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$
– b) Los vectores $\vec{AB}$ , $\vec{AC}$ y $\vec{AD}$ ¿son linealmente independientes?
– c) Calcula el producto escalar $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$
– d) Halla el área del triángulo determinado por los puntos $A$ , $B$ y $C$

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Suponga que la velocidad de crecimiento de una población en el instante $t$ sufre variaciones estacionales en su tamaño de acuerdo con la ecuación
$\frac{dN}{dt} = 3 \sen (2 \pi t)$
donde $t$ se mide en años e indica el tamaño de la población en el instante $t$ . Si $N(0)=10$ (en unidades de miles), calcule una expresión de $N(t)$ . ¿Cómo se reflejan las variaciones estacionales de la velocidad de crecimiento en el tamaño de la población?

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Halla los vértices del triángulo formado al cortarse las tres rectas siguientes:

$x+2y-4=0$
$x-2y=0$
$x+y=0$

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Un contenedor vertical con un área de base de $14.0\: cm$ por $17.0\: cm$ se está llenando con dulces idénticos, cada uno con un volumen de $50.0 \: mm^3$ y una masa de $0.0200 \: g$ . Suponga que el volumen de los espacios vacíos entre los caramelos es despreciable. Si la altura de los dulces en el contenedor aumenta a una velocidad de $0.250 \: cm/s$ , ¿a qué velocidad (kilogramos por minuto) aumenta la masa de los dulces en el contenedor?

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Calcula el volumen del paralelepípedo definido por los puntos $A(1,1,1)$ , $B(3,1,4)$ , $C(-2,-4,6)$ y $D(-3,4,-1)$

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Un tinaco tiene forma de un cono invertido unido con un cilindro. En la figura se muestra una sección del tinaco con sus dimensiones. Expresa el volumen en función de la altura.
Realizar una tabla donde se exprese el factor numérico de crecimiento utilizando la estructura de una función

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Una pecera con forma de ortoedro mide 80 cm de largo, 40 cm de ancho y 20 cm de alto.
a) ¿Cuántos litros de agua le caben si la llenamos hasta el borde?
b) Si la llenamos hasta la mitad y el nivel aumenta 2 cm al echar los peces, ¿Qué volumen ocupan los peces?

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Calcula el volumen del tetraedro ABCD y la altura del vértice B sobre la cara ACD con los siguientes datos:
$[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}]=3$ (producto mixto)
$|\vec{v} \times \vec{w}|=1$ (módulo de producto vectorial)
$\vec{AB} = \vec{u}-\vec{v}$
$\vec{AC} = \vec{w}$
$\vec{AD} = \vec{w}+2\vec{v}$

📝 Ejercicios de Ejercicios_Resueltos