Matemáticas IES - Matemáticas IES

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Comprueba mediante más de un método si los siguientes puntos están alineados:
$A(1,-2,1) \: ; \:B(2,3,0) \: ; \:C(,1,0,-4) \:$

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Los puntos $A(1,3,-1)$ , $B(2,0,2)$ y $C(4,-1,-3)$ son los vértices consecutivos de un paralelogramo. Halla el cuarto vértice y el centro del paralelogramo

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Dadas las rectas
$R_1 \equiv \left\{ \begin{array}{lll} x+y-2z=0 \\2x-3y+z-1=0 \end{array} \right.$ y $R_2 \equiv \left\{ \begin{array}{lll} x= 3 \lambda \\ y = 1 - 2\lambda \\ z = 2 +\lambda \end{array} \right.$
– a) Halla los puntos de corte entre $R_2$ y el plano $\pi : x-3y-2z=2$
– b) Halla la ecuación de un plano que sea perpendicular a $R_1$ y que pase por el punto de corte hallado en el apartado a)

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Considera los puntos $A(1,0,2)$ , $B(-1,3,1)$ y $C(2,1,2)$

– (a) Halla la ecuación del plano que contiene a $A$ , $B$ y $C$
– (b) Halla el área del triángulo de vértices $A$ , $B$ y $C$

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Dados los puntos $A(1,2,3)$ , $B(1,0,0)$ y $C(0,1,1)$ , se pide:

– a) Ecuación del plano $\pi$ que pasa por $A$ , $B$ y $C$
– b) Vector normal al plano $\pi$
– c) Ecuación de una recta perpendicular al plano $\pi$ y que pase por el punto $(0,0,1)$

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Dados los puntos $A(1,1,0)$ y $B(0,2,-1)$ , escriba las ecuaciones paramétricas, continua e implícitas de la recta que pasa por los puntos $A$ y $B$

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Dados los vectores $\vec{u}=(2,-1,5)$ , $\vec{v}=(1,-8,7)$ y $\vec{w}=(1,1,0)$ , se pide:

– a) ¿Son linealmente dependientes los 3 vectores?
– b) Calula $\vec{u} \times \vec{w}$ (producto vectorial)
– c) Encuentra dos vectores paralelos al vector $\vec{u}$
– d) Encuentra dos vectores perpendiculares al vector $\vec{u}$
– e) Halla el ángulo que forman los vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$

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Calcula las coordenadas de un vector $\vec{a}$ de módulo 5 que sea perpendicular al mismo tiempo a los vectores $\vec{b}= (2, -3, 0)$ y $\vec{c}= (1, -4, 1)$ , expresados respecto de la misma base ortonormal que el vector $\vec{a}$

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Dados los vectores $\vec{u}=(-2,1,5)$ , $\vec{v}=(3,-1,7)$ y $\vec{w}=(1,2,0)$ , se pide:

– a) ¿Son linealmente dependientes los 3 vectores?
– b) Calula $\vec{u} \times \vec{w}$ (producto vectorial)
– c) Encuentra dos vectores paralelos al vector $\vec{u}$
– d) Encuentra dos vectores perpendiculares al vector $\vec{u}$
– e) Halla el ángulo que forman los vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$

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Consideramos los puntos $A(1,1,0)$ , $B(0,1,2)$ y $C(1,1,1)$ .

– a) Calcula $d(A,B)$ (distancia entre los puntos A y B)
– b) $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$ (producto escalar)
– c) Calcula el perímetro del triángulo de vértices A, B y C
– d) Halla el área del triángulo de vértices A, B y C

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Halla dos puntos y dos vectores directores de la recta
$(x, y, z) = (3, -1, 2) + t (-2, 3, 2)$

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Halla dos puntos y dos vectores directores de la recta
$r \equiv \left\{ \begin{array}{lll} x=3-2t \\y = -1+3t \\z = 2+2t \end{array} \right.$

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Halla dos puntos y dos vectores directores de la recta
$\frac{x-3}{-2} = \frac{y+1}{3} = \frac{z-2}{2}$

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Halla dos puntos y dos vectores directores de la recta
$r \equiv \left\{ \begin{array}{lll} 3x+2y-7=0 \\2x+2z-10=0 \end{array} \right.$

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Halla la ecuación del plano que pasa por los puntos $A(2,3,5)$ , $B(1,1,2)$ y $C(3,6,10)$

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Dados los puntos $A(1,-2,5)$ , $B(1,0,1)$ y $C(0,-1,1)$ , se pide:

– a) Ecuación del plano $\pi$ que pasa por $A$ , $B$ y $C$
– b) Vector normal al plano $\pi$
– c) Ecuación de una recta perpendicular al plano $\pi$ y que pase por el punto $(0,0,1)$

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La Gran Pirámide de Guiza (también conocida como Pirámide de Keops o de Jufu) es la más antigua de las siete maravillas del mundo y la única que aún perdura, además de ser la mayor de las pirámides de Egipto. Ayúdanos a conocer un poco más de la Gran Pirámide, siguiendo los siguientes pasos:

1) La base de la pirámide está formada por los cuatro puntos de los cuales tres puntos son $A=(-5,-5,0)$ , $B=(-5,5,0)$ y $C=(5,-5,0)$ . Forma los vectores $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$ , comprueba que son linealmente independientes y calcula el área del paralelogramo que forman haciendo uso del producto vectorial. Sabiendo que la longitud es $1=23 \: m$ y por tanto la superficie es $1=529 \: m^2$ ¿Cuántos metros cuadrados de superficie tiene la Gran Pirámide?

2) Si la vertical del centro de la pirámide sigue esta ecuación:
$r \equiv \left\{ x=0 \atop y=0 \right.$
Y el lado de la puerta (donde está el $\vec{AC}$ ) es la recta de ecuación:
$s \equiv \left\{ y=-5 \atop z=0 \right.$

¿Cuántos metros hay de la puerta al centro de la pirámide, O? Demuéstralo con la distancia entre dos rectas (1=23 m)

3) Sabiendo que la cúspide (D) está en el $(0,0,6)$ calcular las ecuaciones vectoriales y paramétricas de las dos rectas $u$ y $v$ que forma los lados ( $\vec{AD}$ y $\vec{CD}$ )

4) Halla el plano que contiene a la puerta $(0,-5,0)$ y es un lado de la pirámide. Halla el plano que es vertical y contiene a la puerta y al centro O. Interseca ambos planos obteniendo la ecuación de la recta $h$ . Comprueba que es la misma recta que pasa por la puerta y la cúspide D.

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Encuentra dos puntos y dos vectores directores de las siguientes rectas:

a) $\left\{ \begin{array}{lll} x=1+\lambda \\ y=-2+2\lambda \\ z=\lambda \end{array} \right.$

b) $\frac{x+1}{1}=\frac{y+2}{2}=\frac{z}{3}$

c) $\left\{ \begin{array}{ll} x+y+z=1 \\ x-y-z=-3 \end{array} \right.$

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Encuentra dos puntos y dos vectores directores de las siguientes rectas:

a) $\left\{ \begin{array}{lll} x=3+2\lambda \\ y=-2+\lambda \\ z=-1+\lambda \end{array} \right.$

b) $\frac{x+1}{1}=\frac{y+2}{2}=\frac{z}{3}$

c) $\left\{ \begin{array}{ll} x+y-z=4 \\ x-y-2z=-5 \end{array} \right.$

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Considere las siguientes rectas:

$r: \: \frac{x-5}{1}=\frac{y-6}{1}=\frac{z+1}{1}$ y
$s: \: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z+1}{-1}$

a) Estudie la posición relativa de ambas rectas.
b) En caso de que las rectas se corten, calcule el plano que las contiene y el ángulo que forman ambas rectas. En caso de que las rectas se crucen, calcule la perpendicular común a ambas rectas.

📝 Ejercicios de geometría3D