Matemáticas IES - Matemáticas IES

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Un banco lanza al mercado un plan de inversión cuya rentabilidad $R(x)$ , en miles de euros, viene dada en función de la cantidad, $x$ , que se invierte, también en miles de euros, por la siguiente expresión:
$R( x) = -0.001x^2 + 0.4 x + 3.5$ , con $x \geq 10$ .

– a) Calcule la rentabilidad para una inversión de 100000 euros.
– b) Deduzca y razone qué cantidad habría que invertir para obtener la máxima rentabilidad.
– c) ¿Qué rentabilidad máxima se obtendría?

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En una empresa los ingresos (en euros) dependen de la edad. Si la edad, x, es de 18 a 50 a ños, los ingresos vienen dados por la fórmula $-x^2 + 70x$ , mientras que para edades iguales o superiores a 50 años los ingresos están determinados por la expresión,

$\frac{400x}{x-30}$

Calcula cuál es el máximo de los ingresos y a qué edad se alcanza.

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Se desea construir un depósito cilíndrico cerrado de área total igual a $54 \: m^2$ . Determina el radio de la base y la altura del cilindro para que este tenga volumen máximo.

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Sea la función $f \: : \: R \: \longrightarrow \: R$ definida por $f(x)=e^x (x^2-x+1)$

– a) Calcula $\lim_{x \rightarrow - \infty} f(x)$ y $\lim_{x \rightarrow + \infty} f(x)$
– b) Halla los extremos relativos de f (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan), determinando si son máximos o mínimos.
– c) Determina las abscisas de los puntos de inflexión de la gráfica de $f$ .

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Se considera la función $f(x)=1-\frac{2}{x+2}$

– a) Determine la monotonía y curvatura de la función.
– b) Calcule sus asíntotas.
– c) Represéntela gráficamente.

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Sea $P(t)$ el porcentaje de células, de un determinado tejido, afectadas por un cierto tipo de enfermedad transcurrido un tiempo $t$ , medido en meses:

$P(t)= \left\{ \begin{array}{lcc} t^2 & si & 0 \leq t \leq 5 \\ \\ \frac{100t-250}{t+5} & si & t >5 \end{array} \right.$

– a) Estudie la continuidad de la función P.
– b) Estudie la derivabilidad de P en $t =5$ .
– c) Estudie la monotonía de dicha función e interprete la evolución del porcentaje de células afectadas.
– d) ¿En algún momento el porcentaje de células afectadas podría valer 50?

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Se estima que el beneficio de una empresa, en millones de euros, para los próximos 10 años viene dado por la función
$B(t) = \left\{ \begin{array}{lcr} at - t^2 & si & 0 \leq t \leq 6 \\ \\ 2t & si & 6 < t \leq 10 \\ \end{array} \right.$
siendo $t$ el tiempo transcurrido en años.

– a) Calcule el valor del parámetro $a$ para que $B$ sea un función continua.
– b) Para $a=8$ represente su gráfica e indique en qué periodos de tiempo la función crecerá o decrecerá.
– c) Para $a=8$ indique en qué momento se obtiene el máximo beneficio en los primeros 6 años y a cuánto asciende su valor.

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Sea $f \: : \: (-\infty, 1) \rightarrow R$ la función definida por
$f(x)= \left\{ \begin{array}{lcc} x+2e^{-x} & si & x \leq 0 \\ \\ \\ a \sqrt{b-x} & si & x > 0 \end{array} \right.$
– a) Determina $a$ y $b$ sabiendo que $f$ es derivable en todo su dominio.
– b) Halla la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica $f$ en el punto de abcisa $x=0$

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En una empresa de montajes el número de montajes diarios realizados por un trabajador depende de los días trabajados según la función
$M(t)=\frac{11t+17}{2t+12} \: \: \:, \: \: \: t \geq 1$ ,
donde $t$ es el número de días trabajados.

– a) ¿Cuántos montajes realiza el primer día? ¿Cuántos días necesitará para
realizar cinco montajes diarios?
– b) ¿Qué ocurriría con el número de montajes diarios si trabajara indefinidamente?
– c) El dueño de la empresa cree que el número de montajes diarios aumenta con los días de trabajo. Estudiando la función, justifique si es cierta dicha creencia.
– d) Dibuje la gráfica de la función.

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El consumo de cereales en una ciudad, en miles de toneladas, viene dado por la función $c(t)=t^3-15t^2+63t+10$ , para $0 \leq t \leq 12$ , donde $t$ representa el tiempo.

– a) ¿En qué instante se alcanza el máximo consumo de cereales y cuántas toneladas se consumen en ese momento?
– b) ¿En qué intervalo de tiempo decrece el consumo de cereales?
– c) Represente gráficamente la función.

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Se considera la función $f(x)=\left\{ \begin{array}{ccc} \frac{x-5}{x-4} & si & x<3 \\ -x^2+7x-10 & si & x\geq 3 \end{array} \right.$

– a) Estudie la continuidad y la derivabilidad de la función $f$
– b) Calcule los puntos de corte de la gráfica de $f$ con los ejes de coordenadas.
– c) Calcule las asíntotas de $f$ , en caso de que existan.

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– a) Calcule la derivada de las funciones

$f(x)=e^{5x} \cdot (x^2-5)^3 \qquad \qquad g(x)=\frac{(x^3+1)^2}{ln(x^2+2)}$

– b) Obtenga la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función $h(x)=\frac{x+10}{x+5}$ , el punto de abscisa $x=0$

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Considera la función f definida por
$f(x)=\frac{x^2+3x+4}{2x+2}$ para $x \neq -1$

– a) Estudia y halla las asíntotas de la gráfica de f.
– b) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f.

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El beneficio, en miles de euros, que ha obtenido una almazara a lo largo de 50 años de vida viene dado por la expresión $B(t)=\left\{ \begin{array}{lr} -0.04t^2+2.4t & 0 \leq t < 40 \\ & \\ \frac{40t-320}{t} & 40 \leq t \leq 50 \end{array} \right.$
donde $t$ es el tiempo transcurrido.

– a) Estudie la continuidad y la derivabilidad de la función $B(t)$ en el intervalo $[0,50]$ .
– b) Estudie la monotonía de la función $B(t)$ y determine en qué momento fueron mayores los beneficios de la almazara, así como el beneficio máximo.
– c) Represente la gráfica de la función y explique la evolución del beneficio.

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Sea $f : R \rightarrow R$ la función definida por $f(x)=e^x(ax+b)$ , donde $a$ y $b$ son números reales.

– a) Calcule los valores de $a$ y $b$ para que la función tenga un extremo relativo en el punto $(3,e^3)$
– b) Para los valores de $a$ y $b$ obtenidos, diga qué tipo de extremo tiene la función en el punto citado.

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a) Hallar los valores de $a$ y $b$ para que la función
$f(x) = \left\{ \begin{array}{lcr} 3x+2 & si & x < 0\\ x^2+2acosx & si & 0 \leq x < \pi\\ ax^2+b & si & x \geq \pi \end{array} \right.$
sea continua para todo valor de $x$

b) Estudia la derivabilidad para los anteriores valores de $a$ y $b$

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Dada la función $f(x)=\frac{\sqrt{x^2-9}}{x-1}$ , se pide:
a) Dominio de definición y puntos de corte con los ejes.
b) Estudio de las asíntotas (verticales, horizontales y oblicuas).
c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. Extremos (máximos y mínimos).
d) Representación gráfica aproximada.

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Para la función $f(x)=\frac{x^2}{x-1}$ , se pide:
a) Dominio de definición y puntos de corte con los ejes.
b) Estudio de las asíntotas (verticales, horizontales y oblicuas).
c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. Extremos (máximos y mínimos).
d) Representación gráfica aproximada.

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Sea la función dada por
$f(x) = \left\{ \begin{array}{ccc} \frac{x}{1-e^x} & si & x \neq 0 \\ -1 & si & x = 0 \end{array} \right.$
a) Demuestre que es continua en todo R
b) Determine si la función es derivable en $x = 0$ y, en caso afirmativo, calcule $f\textsc{\char13}(x)$ .

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Dada la función $f(x)=\frac{e^x}{x}$ , se pide:

a) Dominio de definición y cortes con los ejes.
b) Estudio de las asíntotas (verticales, horizontales y oblicuas).
c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. Extremos (máximos y mínimos).
d) Representación gráfica aproximada.

📝 Ejercicios de funciones