EJERCICIOS RESUELTOS - Funciones, Derivadas e Integrales

Análisis matemático: Funciones, Límites, Derivadas e Integrales

Sea $f : R \longrightarrow R$ la función definida por

$f(x)= \left\{ \begin{array}{lcc} \frac{1}{x-1} & si & x < 0 \\ \\ x^2-3x-1 & si & x \geq 0 \end{array} \right.$

– a) Estudia la continuidad y dervabilidad
– b) Determina sus asíntotas y sus extremos relativos
– c) Esboza la gráfica de f

Solución

Se sabe que la función $f: R \longrightarrow R$ definida por

$f(x) = ax^3+bx^2+cx+d$

tiene extremos relativos en (0,0) y en (2,2). Calcula a,b,c,d

Solución

En una empresa los ingresos (en euros) dependen de la edad. Si la edad, x, es de 18 a 50 a ños, los ingresos vienen dados por la fórmula $-x^2 + 70x$ , mientras que para edades iguales o superiores a 50 años los ingresos están determinados por la expresión,

$\frac{400x}{x-30}$

Calcula cuál es el máximo de los ingresos y a qué edad se alcanza.

Solución

Se desea construir un depósito cilíndrico cerrado de área total igual a $54 \: m^2$ . Determina el radio de la base y la altura del cilindro para que este tenga volumen máximo.

Solución

Sea la función $f \: : \: R \: \longrightarrow \: R$ definida por $f(x)=e^x (x^2-x+1)$

– a) Calcula $\lim_{x \rightarrow - \infty} f(x)$ y $\lim_{x \rightarrow + \infty} f(x)$
– b) Halla los extremos relativos de f (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan), determinando si son máximos o mínimos.
– c) Determina las abscisas de los puntos de inflexión de la gráfica de $f$ .

Solución

Sea $f \: : \: (-\infty, 1) \rightarrow R$ la función definida por
$f(x)= \left\{ \begin{array}{lcc} x+2e^{-x} & si & x \leq 0 \\ \\ \\ a \sqrt{b-x} & si & x > 0 \end{array} \right.$
– a) Determina $a$ y $b$ sabiendo que $f$ es derivable en todo su dominio.
– b) Halla la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica $f$ en el punto de abcisa $x=0$

Solución

Sea $g: \: R \rightarrow R$ definida por $g(x)=ln(x^2+1)$ . Calcula la primitiva de $g$ cuya gráfica pasa por el origen de coordenadas.

Solución

Sea $f : R \longrightarrow R$ la función definida por $f(x) = e^x \cdot cos(x)$

– a) Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $f$ en el punto de abcisa $x=0$
– b) Calcula la primitiva de $f$ cuya gráfica pasa por el punto $(0,0)$

Solución

Considera la función f definida por
$f(x)=\frac{x^2+3x+4}{2x+2}$ para $x \neq -1$

– a) Estudia y halla las asíntotas de la gráfica de f.
– b) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f.

Solución

Sea $f : R \rightarrow R$ la función definida por $f(x)=e^x(ax+b)$ , donde $a$ y $b$ son números reales.

– a) Calcule los valores de $a$ y $b$ para que la función tenga un extremo relativo en el punto $(3,e^3)$
– b) Para los valores de $a$ y $b$ obtenidos, diga qué tipo de extremo tiene la función en el punto citado.

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