EJERCICIOS RESUELTOS - Funciones, Derivadas e Integrales

Análisis matemático: Funciones, Límites, Derivadas e Integrales

Se desea construir un depósito cilíndrico cerrado de área total igual a 54 m². Determina el radio de la base y la altura del cilindro para que este tenga volumen máximo.


Sea la función f \: : \: R \: \longrightarrow \: R definida por f(x)=e^x (x^2-x+1)

- a) Calcula \lim_{x  \rightarrow - \infty} f(x) y \lim_{x  \rightarrow + \infty} f(x)
- b) Halla los extremos relativos de f (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan), determinando si son máximos o mínimos.
- c) Determina las abscisas de los puntos de inflexión de la gráfica de f.


Sea f \: : \: (-\infty, 1) \rightarrow R la función definida por
f(x)= \left\{ \begin{array}{lcc}
             x+2e^{-x} &   si  & x \leq 0 \\
             \\ 
             \\ a \sqrt{b-x} &  si  & x > 0 
             \end{array}
   \right.
- a) Determina a y b sabiendo que f es derivable en todo su dominio.
- b) Halla la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica f en el punto de abcisa x=0


Sea g: \: R \rightarrow R definida por g(x)=ln(x^2+1). Calcula la primitiva de g cuya gráfica pasa por el origen de coordenadas.


Sea f : R \longrightarrow R la función definida por f(x) = e^x \cdot cos(x)

- a) Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abcisa x=0
- b) Calcula la primitiva de f cuya gráfica pasa por el punto (0,0)


Considera la función f definida por
f(x)=\frac{x^2+3x+4}{2x+2} para x \neq -1
- a) Estudia y halla las asíntotas de la gráfica de f.
- b) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f.


a) Hallar los valores de ay b para que la función
f(x) = 
\left\{
\begin{array}{lcr}
 3x+2 & si & x < 0\\
 x^2+2acosx & si & 0 \leq x < \pi\\
 ax^2+b & si & x \geq \pi
\end{array}
\right.
sea continua para todo valor de x

b) Estudia la derivabilidad para los anteriores valores de a y b


- Dibuje la región encerrada por las curvas y=2x y y=x^2-4x
- Encuentre el área de dicha región


De las siguientes funciones indica para cada una: tipo de función y dominio.

- a) f(x) = -x^3+4x
- b) f(x) = \frac{x+1}{x^3+3}
- c) f(x) = \sqrt{x-2}
- d) f(x) = 5^x
- e) f(x) = |x+3|


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