Ejercicios Resueltos de Geometría en el Espacio

Ejercicios de Geometría en el espacio. Bachillerato

Dados los vectores \vec{u} = (-3,5,1) y \vec{v} = (7,4,-2) , realiza las siguientes operaciones:

- 2 \vec{u}
- 0 \vec{v}
- -\vec{u}
- 2 \vec{u} + \vec{v}
- \vec{u} - \vec{v}
- 5 \vec{u}- 3 \vec{v}


Dados los vectores \vec{x}(1,-5,2) , \vec{y}(3,4,-1) . \vec{z}(6,3,-5) , \vec{w}(24,-26,-6) , calcula a, b, c de forma que se cumpla: a\vec{x}+b\vec{y}+c\vec{z}=\vec{w}


Dados los vectores \vec{u}(3,-1,5) , \vec{v}(4,7,11) y \vec{w}(-2,k,3) ,

- Calcula \vec{u} \cdot \vec{v}
- Halla el valor de k para que \vec{u} \perp \vec{w}


Halla el ángulo que forman los vectores \vec{u}(1,5,0) y \vec{v}(-3,0,2)


Dadas las siguientes rectas:

r : \left\{
\begin{array}{ccc}
x - 2y -z =0\\
x + y +3z =-1
\end{array}
\right. \quad s : \left\{
\begin{array}{ccc}
x  =1\\
z =-2
\end{array}
\right.
Halla el ángulo entre r y s.


Calcula el área del triángulo de vértices A(0,3,0) , B(2,0,0)
y C(0,0,-5)


Los puntos A(3,0,0), B(0,3,0) y C(0,0,3) son tres de los vértices de un tetraedro. El cuarto vértice D está contenido en la recta r que pasa por el punto P(1,1,1) y es perpendicular al plano \pi que contiene a los puntos A, B y C.

- a) Calcule la ecuación del plano que contiene a los puntos A, B y C.
- b) Calcule la ecuación de la recta r que pasa por el punto P(1,1,1) y es perpendicular al plano \pi
- c) Calcule las coordenadas del vértice D sabiendo que el volumen del tetraedro es 18.


Dados los puntos A(3,-2,-2), B(1,0,1) y C(2,1,-1)
y el plano \alpha : \left\{
\begin{array}{ccc}
x & = & 1 - \lambda + \mu \\
y & = &  \lambda - \mu \\
z & = & 2 - \lambda - \mu 
\end{array}
\right.

Se pide:

a) Comprueba si los puntos A, B y C pertenecen al plano.

b) Halla la ecuación general del plano.


Escriba las ecuaciones paramétricas, continua e implícita de la recta que pasa por los puntos A(1,2,4) y B(0,-2, -5)


Considera la recta r que pasa por el punto A(1,-2,5) y lleva la dirección del vector \vec{v}=(-2,-2,0)
Se pide:

a) Halla su ecuación paramétrica.

b) Halla su ecuación continua.

c) Halla su ecuación implícita.

d) Estudia la posición relativa de la recta r respecto a la s:
\frac{x-3}{-2}=\frac{y-3}{2}=z-1


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