EJERCICIOS RESUELTOS - Geometría en el Espacio

Ejercicios de Geometría en el espacio. Bachillerato

A la empresa de obras públicas North SA se le ha encargado la construcción de una autovía que una dos importantes ciudades andaluzas. El recorrido de la misma pasa por una montaña y por razones económicas se ha decidido atravesarla construyendo un túnel. Tú puedes echar una mano a los ingenieros implicados en el proyecto a la hora de afrontar los cálculos matemáticos necesarios para realizar la obra.

Se pide:

1. El túnel sigue la trayectoria marcada por los puntos A(-1,1,1) y B(1,2,1). Halla la recta que pasa por estos, a la cual vamos a llamar r.

2. Las laderas de la montaña vienen dadas por lo planos cuyas ecuaciones son:
$\alpha \equiv -9x-y+6z=21$ y $\beta \equiv 9x-y+6z=21$
Halla los puntos de intersección de la recta r con los planos, vamos a nombrar a estos puntos como E(entrada) y S(salida).

3. Halla la longitud del túnel (distancia entre E y S).

4. En la cima de la montaña se va a trazar otra carretera cuya trayectoria viene determinada por la intersección de los planos $\alpha$ y $\beta$ . Halla la intersección de los mismos, a la cual vamos a llamar s.

5 Para la ventilación del túnel se va a crear un pozo de impulsión que conecta la cima de la montaña con el túnel y se quiere saber cuál es la longitud del mismo, el pozo sigue la perpendicular que une las rectas r y s. Halla la distancia entre ambas rectas.

Solución

Dados los vectores $\vec{u}(2,-3,1)$ y $\vec{v}(-3,1,2)$ , calcula el producto vectorial $\vec{u} \times \vec{v} = \vec{w}$ y comprueba que $\vec{w} \perp \vec{u}$ y $\vec{w} \perp \vec{v}$

Solución

Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto $(7,-2,9)$ y es perpendicular a cada una de las rectas $\frac{x-2}{2}=\frac{y}{-2}=\frac{z+3}{3}$ y $x+4=\frac{y-2}{5}=\frac{z}{-2}$

Solución

Dado el punto $P(1,-2,1)$ , el plano $\pi \equiv 2x-4y+z=15$ y la recta $r \equiv \frac{x}{-2}=y+1=\frac{z-2}{-1}$

a) Halla la ecuación del plano que pasa por P y contiene a r
b) Halla la ecuación de la recta que pasa por P, es paralela a $\pi$ y corta a r

Solución

Comprueba si las siguientes rectas son ortogonales
$L_1 \longrightarrow \frac{x+4}{8}=\frac{y-6}{-2}=\frac{z-10}{4}$
$L_2 \longrightarrow \frac{x-2}{-2}=\frac{y-8}{4}=\frac{z+8}{8}$

Obtenga su gráfica usando geogebra, octave u otro software

Solución

Considera los puntos:

$A(1,0,3)$ , $B(3,-1,0)$ , $C(0,-1,2)$ y $D(a,b,-1)$

Halla $a$ y $b$ sabiendo que la recta que pasa por $A$ y $B$ corta perpendicularmente a la recta que pasa por $C$ y $D$

Solución

Halla la ecuación del plano que pasa por el punto $A(1,0,-1)$ , es perpendicular al plano $x-y+2z+1=0$ y es paralelo a la recta
$\left\{ \begin{array}{rrr} x-2y & = & 0\\ z & = & 0 \end{array} \right.$

Solución

Sabiendo que las rectas

$r \equiv x=y=x \qquad y \qquad s \equiv \left\{ \begin{array}{lll} x= 1 + \mu \\ y = 3 + \mu \\ z = - \mu \end{array} \right.$

se cruzan, halla los puntos $A$ y $B$ , de $r$ y $s$ respectivamente, que están a mínima distancia.

Solución

Considera el punto $A(0, -3, 1)$ , el plano $\pi \equiv 2x-2y+3z=0$ y la recta $r \equiv x+3=y=\frac{z-3}{2}$ .

– (a) Determina la ecuación del plano que pasa por $A$ y contiene a $r$ .
– (b) Determina la ecuación de la recta que pasa por $A$ , es paralela a $\pi$ y corta a $r$ .

Solución

Considera el punto $A(0, -3, 1)$ , el plano $\pi \equiv 2x-2y+3z=0$ y la recta $r \equiv x+3=y=\frac{z-3}{2}$ .

– (a) Determina la ecuación del plano que pasa por $A$ y contiene a $r$ .
– (b) Determina la ecuación de la recta que pasa por $A$ , es paralela a $\pi$ y corta a $r$ .

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