EJERCICIOS RESUELTOS - Matrices, Determinantes y Sistemas

Matrices, Determinantes y Sistemas - 2º Bach. Ciencias

Resuelve en función del parámetro \lambda el siguiente sistema de ecuaciones:

\left.
\begin{array}{ccc}
2\lambda x+2y+3\lambda z & = & 1 \\
\lambda x-\lambda y-z & = & 2 \\
x-y- z & = & \lambda 
\end{array}
\right\}


De las matrices:

A = 
\left(
\begin{array}{cc}
1 & 2\\
3 & 4\end{array}
\right) ,
B = 
\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 2 & 3\\
4 & 5 & 6 
\end{array}
\right) ,
C = 
\left(
\begin{array}{cc}
1 & 1\\
3 & 3\end{array}
\right) y
D = 
\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 2 & 3\\
0 & 1 & 2\\
0 & 0 & 1
\end{array}
\right)

determina cuáles tienen inversa y en los casos en que exista, calcula el determinante de dichas inversas.


Considera

A = 
\left(
\begin{array}{ccc}
1 & -2 & -3\\
0 & a & 2 \\
a & -1 & a-2
\end{array}
\right) ,
B = 
\left(
\begin{array}{c}
1\\
0 \\
1 
\end{array}
\right) y
X = 
\left(
\begin{array}{c}
x\\
y \\
z
\end{array}
\right)

- (a) Determina el rango de A en función del parámetro a
- (b) Discute en función de a en sistema, dado en forma matricial AX=B
- (c) Resuelve AX=B en los casos en que sea compatible indeterminado.


Sea

A = 
\left(
\begin{array}{ccc}
sen x & -cos x & 0\\
cosx & senx & 0 \\
senx + cosx & senx - cosx & 1
\end{array}
\right)

¿Para qué valores de x existe la matriz inversa de A?. Calcula dicha matriz inversa.


Considera la matriz
A = 
\left(
\begin{array}{ccc}
0 & 3 & 4\\
 1 & -4 & -5 \\
 -1 & 3  & 4
\end{array}
\right)

- (a) Siendo I la matriz identidad 3 x 3 y O la matriz nula 3 x 3 , prueba que A^3+I=O
- (b) Calcula A^{10}


Considera el sistema
\left.
\begin{array}{ccc}
mx+ y -z & = & 1 \\
x - my+ z & = & 4 \\
x + y+ mz & = & m 
\end{array}
\right\}

- a) Discútelo según los valores de m
- b) ¿Cuál es, según los valores de m, la posición relativa de los planos cuyas ecuaciones respectivas son las tres que forman el sistema?


- a) Clasifica el siguiente sistema según los valores del parámetro m
\left.
\begin{array}{ccc}
2x+ my  & = & 0 \\
x + mz & = & m \\
x + y+ 3z & = & 1 
\end{array}
\right\}

- b) Resuelve el sistema anterior para m=6


Considera las matrices


A =
\left(
\begin{array}{ccc}
     0 & 0 & 1
  \\ 0 & 1 & 0
  \\ 1 & 0 & 0
\end{array}
\right)
,

B =
\left(
\begin{array}{ccc}
     0 & 0 & 1
  \\ x & 1 & 0
  \\ y & 0 & 0
\end{array}
\right)

- a) Calcula la matriz inversa de A
- b) Calcula A^{127} y A^{128}
- c) Determina x e y tal que AB = BA


Considera el siguiente sistema de ecuaciones
\left.
\begin{array}{ccc}
x+3y+z & = & 3 \\
2x+my+z & = & m \\
3x+5y+mz & = & 5 
\end{array}
\right\}

- a) Determina, si es posible, un valor de m para que el correspondiente sistema tenga una y sólo una solución.
- b) Determina, si es posible, un valor de m para que el correspondiente sistema tenga al menos dos soluciones.
- c) Determina, si es posible, un valor de m para que el correspondiente sistema no tenga solución.


Determina la matriz X que verifica la ecuación AX = X-B siendo

A =
\left(
\begin{array}{ccc}
     0 & 0 & 1
  \\ 0 & 0 & 0
  \\ -1 & 0 & 0
\end{array}
\right)
 \qquad y  \qquad
B =
\left(
\begin{array}{ccc}
     1 & 0 & 1
  \\ 0 & 1 & 1
  \\ 0 & -1 & -1
\end{array}
\right)


1º BACH. CIENCIAS 1º BACH. SOC. 1º ESO 2º BACH. CIENCIAS 2º BACH. SOC. 2º ESO 3º ESO 4º ESO