EJERCICIOS RESUELTOS - Matrices, Determinantes y Sistemas

Matrices, Determinantes y Sistemas - 2º Bach. Ciencias

Considera la matriz
A = 
\left(
\begin{array}{ccc}
0 & 3 & 4\\
 1 & -4 & -5 \\
 -1 & 3  & 4
\end{array}
\right)

- (a) Siendo I la matriz identidad 3 x 3 y O la matriz nula 3 x 3 , prueba que A^3+I=O
- (b) Calcula A^{10}


Considera el sistema
\left.
\begin{array}{ccc}
mx+ y -z & = & 1 \\
x - my+ z & = & 4 \\
x + y+ mz & = & m 
\end{array}
\right\}

- a) Discútelo según los valores de m
- b) ¿Cuál es, según los valores de m, la posición relativa de los planos cuyas ecuaciones respectivas son las tres que forman el sistema?


Considera las matrices


A =
\left(
\begin{array}{ccc}
     0 & 0 & 1
  \\ 0 & 1 & 0
  \\ 1 & 0 & 0
\end{array}
\right)
,

B =
\left(
\begin{array}{ccc}
     0 & 0 & 1
  \\ x & 1 & 0
  \\ y & 0 & 0
\end{array}
\right)

- a) Calcula la matriz inversa de A
- b) Calcula A^{127} y A^{128}
- c) Determina x e y tal que AB = BA


Considera el siguiente sistema de ecuaciones
\left.
\begin{array}{ccc}
x+3y+z & = & 3 \\
2x+my+z & = & m \\
3x+5y+mz & = & 5 
\end{array}
\right\}

- a) Determina, si es posible, un valor de m para que el correspondiente sistema tenga una y sólo una solución.
- b) Determina, si es posible, un valor de m para que el correspondiente sistema tenga al menos dos soluciones.
- c) Determina, si es posible, un valor de m para que el correspondiente sistema no tenga solución.


Determina la matriz X que verifica la ecuación AX = X-B siendo

A =
\left(
\begin{array}{ccc}
     0 & 0 & 1
  \\ 0 & 0 & 0
  \\ -1 & 0 & 0
\end{array}
\right)
 \qquad y  \qquad
B =
\left(
\begin{array}{ccc}
     1 & 0 & 1
  \\ 0 & 1 & 1
  \\ 0 & -1 & -1
\end{array}
\right)


Álvaro, Marta y Guillermo son tres hermanos. Álvaro dice a Marta: si te doy la quinta parte del dinero que tengo, los tres hermanos tendremos la misma cantidad. Calcula lo que tiene cada uno si entre los tres juntan 84 euros.


Considera el sistema de ecuaciones:

 \left\{
\begin{array}{lll}
x + my + z = 0 \\
x + y + mz = 2 \\
mx + y + z = m
\end{array}
\right.

- (a) ¿Para qué valor de m el sistema tiene al menos dos soluciones?
- (b) ¿Para qué valores de m el sistema admite solución en la que x = 1?


Considera el sistema de ecuaciones:

 \left\{
\begin{array}{lll}
x + my + z = 0 \\
x + y + mz = 2 \\
mx + y + z = m
\end{array}
\right.

- (a) ¿Para qué valor de m el sistema tiene al menos dos soluciones?
- (b) ¿Para qué valores de m el sistema admite solución en la que x = 1?


Considera el sistema de ecuaciones
\left.
\begin{array}{ccc}
x+y+z & = & 0 \\
2x+\lambda y+z & = & 2 \\
x+y+\lambda z & = & \lambda - 1 
\end{array}
\right\}

- a) Determina el valor de \lambda para que el sistema sea incompatible.
- b) Resuelva el sistema para \lambda = 1


- (a) Calcula el valor de m para el que la matriz
A = 
\left(
\begin{array}{cc}
1 & 0\\
1 & m\end{array}
\right)
verifica la relación 2A^2-A=I y determina A^{-1} para dicho valor de m

- (b) Si M es una matriz cuadrada que verifica la relación 2M^2-M=I , determina la expresión de M^{-1} en función de M y de I.


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