EJERCICIOS RESUELTOS - Matrices, Determinantes y Sistemas

Matrices, Determinantes y Sistemas - 2º Bach. Ciencias

Considera las matrices:

A=\left( \begin{array}{ccc}1 & 0 & 0\cr 0 & \lambda & 1\cr 0 & -1 & \lambda\end{array}\right)
\qquad y \qquad
B=\left( \begin{array}{ccc}0 & 0 & 1\cr 1 & 0 & 0\cr 0 & 1 & 0\end{array}\right)

- a) ¿Hay algún valor de \lambda para el que A no tiene inversa?
- b) Para \lambda=1, resuelve la ecuación matricial A^{-1}XA = B


Dadas las matrices

 A =
\left(
\begin{array}{ccc}
     \alpha & 1 & -1
  \\ 1 & \alpha & -1
  \\ -1 & -1 & \alpha
\end{array}
\right)

 B =
\left(
\begin{array}{ccc}
     0
  \\ 1
  \\ 1
\end{array}
\right)

- a) Calcula el rango de A dependiendo de los valores de \alpha
- b) Para \alpha=2, resuelve la ecuación matricial A^tX=B


Sean las matrices
 A =
\left(
\begin{array}{cc}
     \alpha & 1
  \\ - \alpha & 3
\end{array}
\right)

 B =
\left(
\begin{array}{ccc}
     1 & 3 & 1
  \\ -1 & 4 & 2
\end{array}
\right)

- a) Calcula los valores de \alpha para los que la matriz inversa de A es \frac{1}{12}A
- b) Para \alpha=-3, determina la matriz X que verifica la ecuación A^tX=B , siendo A^t la matriz traspuesta de A.


Considera el sistema de ecuaciones
\left.
\begin{array}{rcc}
2x-2y+4z & = & 4 \\
2x + z & = & a \\
 -3x -3y+ 3z & = & -3 
\end{array}
\right\}

- a) Discútelo según los valores del parámetro a
- b) Resuélvelo cuando sea posible


Sean A y B dos matrices cuadradas de orden 3 cuyos determinantes son |A|=\frac{1}{2} y |B|=-2. Halla:

- a) |A^3|
- b) |A^{-1}|
- c) |-2A|
- d) |AB^t|
- e) rango(B)


Dado el sistema de ecuaciones lineales
\left.
\begin{array}{rcc}
 - \lambda x + y+ z & = & 1 \\
x + \lambda y +z & = & 2 \\
\lambda x + y+ z & = & 1
\end{array}
\right\}

- a) Clasifica el sistema según los valores del parámetro \lambda
- b) Resuelve el sistema para \lambda = 0


Dada la matriz
 A =
\left(
\begin{array}{cc}
     \lambda +1 & 0
  \\ 1 & -1
\end{array}
\right)

- a) Determina los valores de \lambda para los que la matriz A^2+3A no tiene inversa.
- b) Para \lambda =0, halla la matriz X que verifica la ecuación AX + A = 2I, siendo I la matriz identidad de orden 2.


Considera las matrices
A = \left(
\begin{array}{ccc}
1 & 2 & 0 \\
0 & 1 & 2 \\
1 & 2 & 1 
\end{array}
\right) \qquad B = \left(
\begin{array}{cc}
0 & 1 \\
1 & 0  
\end{array}
\right) \qquad C = \left(
\begin{array}{ccc}
 -1 & 2 & 0 \\
1 & 1 & 2  
\end{array}
\right)
Determina, si existe, la matriz X que verifica AXB = C^t, siendo C^t la matriz traspuesta de C


Considera el sistema de ecuaciones
\left.
\begin{array}{ccccc}
x &+ y&+ kz & = & 1 \\
2x& + ky & &= & 1 \\
 &y&+ 2z & = & k
\end{array}
\right\}

- a) Clasifica el sistema según los valores del parámetro k
- b) Resuélvelo para k=1
- c) Resuélvelo para k=-1


Considera las matrices


A =
\left(
\begin{array}{ccc}
     1 & 0 & 1
  \\ 1 & 1 & 0
  \\ 0 & 0 & 2
\end{array}
\right)
y
B =
\left(
\begin{array}{ccc}
     -1 & 1 & 1
  \\ 1 & -1 & 1
  \\ 0 & 0 & -1
\end{array}
\right)

- (a) Halla, si es posible, A^{-1} y B^{-1}
- (b) Halla el determinante de A B^{2013} A^t siendo A^t la matriz traspuesta de A
- (c) Calcula la matriz X que satisface AX - B = AB


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