EJERCICIOS RESUELTOS - Geometría en el Espacio

Ejercicios de Geometría en el espacio. Bachillerato

A la empresa de obras públicas North SA se le ha encargado la construcción de una autovía que una dos importantes ciudades andaluzas. El recorrido de la misma pasa por una montaña y por razones económicas se ha decidido atravesarla construyendo un túnel. Tú puedes echar una mano a los ingenieros implicados en el proyecto a la hora de afrontar los cálculos matemáticos necesarios para realizar la obra.

Se pide:

1. El túnel sigue la trayectoria marcada por los puntos A(-1,1,1) y B(1,2,1). Halla la recta que pasa por estos, a la cual vamos a llamar r.

2. Las laderas de la montaña vienen dadas por lo planos cuyas ecuaciones son:
\alpha \equiv -9x-y+6z=21 y \beta \equiv 9x-y+6z=21
Halla los puntos de intersección de la recta r con los planos, vamos a nombrar a estos puntos como E(entrada) y S(salida).

3. Halla la longitud del túnel (distancia entre E y S).

4. En la cima de la montaña se va a trazar otra carretera cuya trayectoria viene determinada por la intersección de los planos \alpha y \beta . Halla la intersección de los mismos, a la cual vamos a llamar s.

5 Para la ventilación del túnel se va a crear un pozo de impulsión que conecta la cima de la montaña con el túnel y se quiere saber cuál es la longitud del mismo, el pozo sigue la perpendicular que une las rectas r y s. Halla la distancia entre ambas rectas.


Dados los vectores \vec{u}(2,-3,1) y \vec{v}(-3,1,2), calcula el producto vectorial \vec{u} \times \vec{v} = \vec{w} y comprueba que \vec{w} \perp \vec{u} y \vec{w} \perp \vec{v}


Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto (7,-2,9) y es perpendicular a cada una de las rectas \frac{x-2}{2}=\frac{y}{-2}=\frac{z+3}{3} y x+4=\frac{y-2}{5}=\frac{z}{-2}


Comprueba si las siguientes rectas son ortogonales
L_1 \longrightarrow \frac{x+4}{8}=\frac{y-6}{-2}=\frac{z-10}{4}
L_2 \longrightarrow \frac{x-2}{-2}=\frac{y-8}{4}=\frac{z+8}{8}

Obtenga su gráfica usando geogebra, octave u otro software


Considera los puntos:

A(1,0,3) , B(3,-1,0) , C(0,-1,2) y D(a,b,-1)

Halla a y b sabiendo que la recta que pasa por A y B corta perpendicularmente a la recta que pasa por C y D


Halla la ecuación del plano que pasa por el punto A(1,0,-1) , es perpendicular al plano x-y+2z+1=0 y es paralelo a la recta
\left\{
\begin{array}{rrr}
x-2y & = & 0\\
z & = & 0 
\end{array}
\right.


Sabiendo que las rectas

r \equiv x=y=x \qquad y \qquad
s \equiv \left\{
\begin{array}{lll}
x= 1 + \mu \\
y = 3 + \mu \\
z = - \mu
\end{array}
\right.

se cruzan, halla los puntos A y B, de r y s respectivamente, que están a mínima distancia.


Considera el punto A(0, -3, 1) , el plano \pi \equiv 2x-2y+3z=0 y la recta r \equiv x+3=y=\frac{z-3}{2}.

- (a) Determina la ecuación del plano que pasa por A y contiene a r.
- (b) Determina la ecuación de la recta que pasa por A, es paralela a \pi y corta a r.


Considera el punto A(0, -3, 1) , el plano \pi \equiv 2x-2y+3z=0 y la recta r \equiv x+3=y=\frac{z-3}{2}.

- (a) Determina la ecuación del plano que pasa por A y contiene a r.
- (b) Determina la ecuación de la recta que pasa por A, es paralela a \pi y corta a r.


Se sabe que las rectas:

 r \equiv \left.
\begin{array}{lll}
x = 1 + t \\
y = -1 - t \\
z = b + t
\end{array}
\right\}
y
 s \equiv \left.
\begin{array}{lll}
x - y + z = 3 \\
6x + 2z = 2
\end{array}
\right\}
están contenidas en un mismo plano

- (a) Calcula b
- (b) Halla la ecuación del plano que contiene a las rectas r y s


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