EJERCICIOS RESUELTOS - Geometría en el Espacio

Ejercicios de Geometría en el espacio. Bachillerato

Resuelve los siguientes apartados:
- a) Calcular la ecuación del plano \pi que pasa por P(3,-1,-1) y es perpendicular a la recta
r \equiv \left\{
x + y +z = 1 \atop
 2x + y = 3
\right.

- b) Corta el plano anterior con los tres ejes de coordenadas y obtendrás tres puntos A, B y C. Calcula el Volumen del tetraedro que determinan.


Halla la ecuación del plano que contiene a la recta r de ecuaciones
 \left\{
\begin{array}{lll}
x= 1 - \lambda \\
y = 1 - \lambda \\
z = 2 
\end{array}
\right.

y es paralelo a la recta s definida por
 \frac{x}{1} =  \frac{y-1}{1} =  \frac{2-z}{1}


Calcular la ecuación del plano que pasa por P(0,1,5) y Q=(3,4,3) y es paralelo a la recta r \equiv \left\{
x - y + z = 0 \atop
2x + y = 3
\right.


Estudiar la posición relativa de los siguientes planos según los posibles valores del parámetro a, siendo:
\pi_1= 4x+2y+2z=2a
\pi_2= ax+y+z=1
\pi_3= 2x+y+az=1


Estudia la posición relativa de la recta r y el plano \alpha en los siguientes casos:

a) r : \left\{
\begin{array}{ccc}
x & = & 2 + 3 \lambda \\
y & = & 2 \lambda \\
z & = & -2 +4 \lambda 
\end{array}
\right. \qquad \alpha : 3x-y+2z+1=0

b) r : \left\{
\begin{array}{ccc}
x & = & 2t + 3 \\
y & = &  t-1\\
z & = & t+2
\end{array}
\right. \qquad \alpha : x-3y+z-8=0


A la empresa de obras públicas North SA se le ha encargado la construcción de una autovía que una dos importantes ciudades andaluzas. El recorrido de la misma pasa por una montaña y por razones económicas se ha decidido atravesarla construyendo un túnel. Tú puedes echar una mano a los ingenieros implicados en el proyecto a la hora de afrontar los cálculos matemáticos necesarios para realizar la obra.

Se pide:

1. El túnel sigue la trayectoria marcada por los puntos A(-1,1,1) y B(1,2,1). Halla la recta que pasa por estos, a la cual vamos a llamar r.

2. Las laderas de la montaña vienen dadas por lo planos cuyas ecuaciones son:
\alpha \equiv -9x-y+6z=21 y \beta \equiv 9x-y+6z=21
Halla los puntos de intersección de la recta r con los planos, vamos a nombrar a estos puntos como E(entrada) y S(salida).

3. Halla la longitud del túnel (distancia entre E y S).

4. En la cima de la montaña se va a trazar otra carretera cuya trayectoria viene determinada por la intersección de los planos \alpha y \beta . Halla la intersección de los mismos, a la cual vamos a llamar s.

5 Para la ventilación del túnel se va a crear un pozo de impulsión que conecta la cima de la montaña con el túnel y se quiere saber cuál es la longitud del mismo, el pozo sigue la perpendicular que une las rectas r y s. Halla la distancia entre ambas rectas.


Dados los vectores \vec{u}(2,-3,1) y \vec{v}(-3,1,2), calcula el producto vectorial \vec{u} \times \vec{v} = \vec{w} y comprueba que \vec{w} \perp \vec{u} y \vec{w} \perp \vec{v}


Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto (7,-2,9) y es perpendicular a cada una de las rectas \frac{x-2}{2}=\frac{y}{-2}=\frac{z+3}{3} y x+4=\frac{y-2}{5}=\frac{z}{-2}


Dado el punto P(1,-2,1) , el plano \pi \equiv 2x-4y+z=15 y la recta r \equiv \frac{x}{-2}=y+1=\frac{z-2}{-1}

a) Halla la ecuación del plano que pasa por P y contiene a r
b) Halla la ecuación de la recta que pasa por P, es paralela a \pi y corta a r


Comprueba si las siguientes rectas son ortogonales
L_1 \longrightarrow \frac{x+4}{8}=\frac{y-6}{-2}=\frac{z-10}{4}
L_2 \longrightarrow \frac{x-2}{-2}=\frac{y-8}{4}=\frac{z+8}{8}

Obtenga su gráfica usando geogebra, octave u otro software


1º BACH. CIENCIAS 1º BACH. SOC. 1º ESO 2º BACH. CIENCIAS 2º BACH. SOC. 2º ESO 3º ESO 4º ESO