EJERCICIOS RESUELTOS - Geometría en el Espacio

Ejercicios de Geometría en el espacio. Bachillerato

Encuentra dos puntos y dos vectores directores de las siguientes rectas:

a) \left\{ \begin{array}{lll} x=1+\lambda \\ y=-2+2\lambda \\ z=\lambda \end{array} \right.

b) \frac{x+1}{1}=\frac{y+2}{2}=\frac{z}{3}

c) \left\{ \begin{array}{ll} x+y+z=1 \\ x-y-z=-3 \end{array} \right.


Encuentra dos puntos y dos vectores directores de las siguientes rectas:

a) \left\{ \begin{array}{lll} x=3+2\lambda \\ y=-2+\lambda \\ z=-1+\lambda \end{array} \right.

b) \frac{x+1}{1}=\frac{y+2}{2}=\frac{z}{3}

c) \left\{ \begin{array}{ll} x+y-z=4 \\ x-y-2z=-5 \end{array} \right.


Dados los siguientes vectores
\vec{v}=(1,0,-3) \quad \vec{w}=(1,-1,1) \quad \vec{t}=(0,2,-8)
Se pide:

a) Efectúa la operación \vec{v} + \vec{w} - \vec{t}
b) Comprueba si los tres vectores forman una base de R^3


Considere las siguientes rectas:

r: \: \frac{x-5}{1}=\frac{y-6}{1}=\frac{z+1}{1} y
s: \: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z+1}{-1}

a) Estudie la posición relativa de ambas rectas.
b) En caso de que las rectas se corten, calcule el plano que las contiene y el ángulo que forman ambas rectas. En caso de que las rectas se crucen, calcule la perpendicular común a ambas rectas.


Resuelve los siguientes apartados:
– a) Calcular la ecuación del plano \pi que pasa por P(3,-1,-1) y es perpendicular a la recta
r \equiv \left\{ x + y +z = 1 \atop 2x + y = 3 \right.

– b) Corta el plano anterior con los tres ejes de coordenadas y obtendrás tres puntos A, B y C. Calcula el Volumen del tetraedro que determinan.


Halla la ecuación del plano que contiene a la recta r de ecuaciones
\left\{ \begin{array}{lll} x= 1 - \lambda \\ y = 1 - \lambda \\ z = 2 \end{array} \right.

y es paralelo a la recta s definida por
\frac{x}{1} = \frac{y-1}{1} = \frac{2-z}{1}


Calcular la ecuación del plano que pasa por P(0,1,5) y Q=(3,4,3) y es paralelo a la recta r \equiv \left\{ x - y + z = 0 \atop 2x + y = 3 \right.


Estudiar la posición relativa de los siguientes planos según los posibles valores del parámetro a, siendo:
\pi_1= 4x+2y+2z=2a
\pi_2= ax+y+z=1
\pi_3= 2x+y+az=1


Estudia las posiciones relativas de la recta r y el plano \pi de ecuaciones:

r \equiv \left\{ \begin{array}{l} x=1+t \\y=t \\z=2+3t \end{array} \right. \qquad \pi \equiv 3x-y+2z+1=0


Estudia la posición relativa de la recta r y el plano \alpha en los siguientes casos:

a) r : \left\{ \begin{array}{ccc} x & = & 2 + 3 \lambda \\ y & = & 2 \lambda \\ z & = & -2 +4 \lambda \end{array} \right. \qquad \alpha : 3x-y+2z+1=0

b) r : \left\{ \begin{array}{ccc} x & = & 2t + 3 \\ y & = & t-1\\ z & = & t+2 \end{array} \right. \qquad \alpha : x-3y+z-8=0


  •  (1883) Ejercicios Resueltos
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