EJERCICIOS RESUELTOS - Matrices, Determinantes y Sistemas

Matrices, Determinantes y Sistemas - 2º Bach. Ciencias

Álvaro, Marta y Guillermo son tres hermanos. Álvaro dice a Marta: si te doy la quinta parte del dinero que tengo, los tres hermanos tendremos la misma cantidad. Calcula lo que tiene cada uno si entre los tres juntan 84 euros.


Considera el sistema de ecuaciones:

 \left\{
\begin{array}{lll}
x + my + z = 0 \\
x + y + mz = 2 \\
mx + y + z = m
\end{array}
\right.

- (a) ¿Para qué valor de m el sistema tiene al menos dos soluciones?
- (b) ¿Para qué valores de m el sistema admite solución en la que x = 1?


Considera el sistema de ecuaciones:

 \left\{
\begin{array}{lll}
x + my + z = 0 \\
x + y + mz = 2 \\
mx + y + z = m
\end{array}
\right.

- (a) ¿Para qué valor de m el sistema tiene al menos dos soluciones?
- (b) ¿Para qué valores de m el sistema admite solución en la que x = 1?


Considera el sistema de ecuaciones
\left.
\begin{array}{ccc}
x+y+z & = & 0 \\
2x+\lambda y+z & = & 2 \\
x+y+\lambda z & = & \lambda - 1 
\end{array}
\right\}

- a) Determina el valor de \lambda para que el sistema sea incompatible.
- b) Resuelva el sistema para \lambda = 1


- (a) Calcula el valor de m para el que la matriz
A = 
\left(
\begin{array}{cc}
1 & 0\\
1 & m\end{array}
\right)
verifica la relación 2A^2-A=I y determina A^{-1} para dicho valor de m

- (b) Si M es una matriz cuadrada que verifica la relación 2M^2-M=I , determina la expresión de M^{-1} en función de M y de I.


Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones para ls valores de m que lo hacen compatible:
\left.
\begin{array}{ccc}
x+my & = & m \\
mx+ y & = & m \\
mx+my & = & 1 
\end{array}
\right\}


Considera la matriz
\left(
\begin{array}{ccc}
1 &1 &1 \\
m &m^2 & m^2 \\
m & m & m^2 
\end{array}
\right)

- a) Halla los valores del parámetro m para los que el rango de A es menor que 3
- b) Estudia si el sistema
A \cdot \left(
\begin{array}{c}
x \\
y \\
z 
\end{array}
\right) = \left(
\begin{array}{c}
1 \\
1 \\
1 
\end{array}
\right) tiene solución para cada uno de los valores de m obtenidos en el apartado anterior.


- (a) Determina razonadamente los valores del parámetro m para los que el siguiente sistema de ecuaciones tiene más de una solución:

\left.
\begin{array}{ccc}
2x+y+z & = & mx \\
x + 2y+ z & = & my \\
x + 2y+ 4z & = & mz 
\end{array}
\right\}

- (b) Resuelve el sistema anterior para el caso m = 0 y para el caso m = 1.


Dada la matriz
A = 
\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 3 & k\\
k & 1 & 3\\
1 & 7 & k
\end{array}
\right)

- (a) Estudia el rango de A en función de los valores del parámetro k.
- (b) Para k = 0, halla la matriz inversa de A.


Sean las matrices

A = 
\left(
\begin{array}{cc}
1 & 0\\
 -1 & 1
\end{array}
\right)
,
B = 
\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0\\
 0 & -1 & -1\\
 0 & 1 & 2
\end{array}
\right)
y
C = 
\left(
\begin{array}{ccc}
3 & 1 & 2\\
 0 & 1 & -2
\end{array}
\right)

Calcula la matriz X que cumpla la ecuación AXB = C


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