EJERCICIOS RESUELTOS - Matrices, Determinantes y Sistemas

Matrices, Determinantes y Sistemas - 2º Bach. Ciencias

Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones para ls valores de m que lo hacen compatible:
\left.
\begin{array}{ccc}
x+my & = & m \\
mx+ y & = & m \\
mx+my & = & 1 
\end{array}
\right\}


Considera la matriz
\left(
\begin{array}{ccc}
1 &1 &1 \\
m &m^2 & m^2 \\
m & m & m^2 
\end{array}
\right)

- a) Halla los valores del parámetro m para los que el rango de A es menor que 3
- b) Estudia si el sistema
A \cdot \left(
\begin{array}{c}
x \\
y \\
z 
\end{array}
\right) = \left(
\begin{array}{c}
1 \\
1 \\
1 
\end{array}
\right) tiene solución para cada uno de los valores de m obtenidos en el apartado anterior.


- (a) Determina razonadamente los valores del parámetro m para los que el siguiente sistema de ecuaciones tiene más de una solución:

\left.
\begin{array}{ccc}
2x+y+z & = & mx \\
x + 2y+ z & = & my \\
x + 2y+ 4z & = & mz 
\end{array}
\right\}

- (b) Resuelve el sistema anterior para el caso m = 0 y para el caso m = 1.


Dada la matriz
A = 
\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 3 & k\\
k & 1 & 3\\
1 & 7 & k
\end{array}
\right)

- (a) Estudia el rango de A en función de los valores del parámetro k.
- (b) Para k = 0, halla la matriz inversa de A.


Sean las matrices

A = 
\left(
\begin{array}{cc}
1 & 0\\
 -1 & 1
\end{array}
\right)
,
B = 
\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0\\
 0 & -1 & -1\\
 0 & 1 & 2
\end{array}
\right)
y
C = 
\left(
\begin{array}{ccc}
3 & 1 & 2\\
 0 & 1 & -2
\end{array}
\right)

Calcula la matriz X que cumpla la ecuación AXB = C


Considera las matrices:

A=\left( \begin{array}{ccc}1 & 0 & 0\cr 0 & \lambda & 1\cr 0 & -1 & \lambda\end{array}\right)
\qquad y \qquad
B=\left( \begin{array}{ccc}0 & 0 & 1\cr 1 & 0 & 0\cr 0 & 1 & 0\end{array}\right)

- a) ¿Hay algún valor de \lambda para el que A no tiene inversa?
- b) Para \lambda=1, resuelve la ecuación matricial A^{-1}XA = B


Dadas las matrices

 A =
\left(
\begin{array}{ccc}
     \alpha & 1 & -1
  \\ 1 & \alpha & -1
  \\ -1 & -1 & \alpha
\end{array}
\right)

 B =
\left(
\begin{array}{ccc}
     0
  \\ 1
  \\ 1
\end{array}
\right)

- a) Calcula el rango de A dependiendo de los valores de \alpha
- b) Para \alpha=2, resuelve la ecuación matricial A^tX=B


Sean las matrices
 A =
\left(
\begin{array}{cc}
     \alpha & 1
  \\ - \alpha & 3
\end{array}
\right)

 B =
\left(
\begin{array}{ccc}
     1 & 3 & 1
  \\ -1 & 4 & 2
\end{array}
\right)

- a) Calcula los valores de \alpha para los que la matriz inversa de A es \frac{1}{12}A
- b) Para \alpha=-3, determina la matriz X que verifica la ecuación A^tX=B , siendo A^t la matriz traspuesta de A.


Considera el sistema de ecuaciones
\left.
\begin{array}{rcc}
2x-2y+4z & = & 4 \\
2x + z & = & a \\
-3x -3y+ 3z & = & -3 
\end{array}
\right\}
- a) Discútelo según los valores del parámetro a
- b) Resuélvelo cuando sea posible


Sean A y B dos matrices cuadradas de orden 3 cuyos determinantes son |A|=\frac{1}{2} y |B|=-2. Halla:
- a) |A^3|
- b) |A^{-1}|
- c) |-2A|
- d) |AB^t|
- e) rango(B)


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