EJERCICIOS RESUELTOS - Matrices, Determinantes y Sistemas

Matrices, Determinantes y Sistemas - 2º Bach. Ciencias

Considera las siguientes matrices
A=\left(
\begin{array}{ccc}
     0 & 0 & 1
  \\ 0 & -1 & 0
  \\ 1 & 0 & 0
\end{array}
\right) \qquad 
B=\left(
\begin{array}{ccc}
     a & b & c
  \\ 0 & 1 & 0
  \\ -1 & 0 & 0
\end{array}
\right)

- a) Determina, si existen, los valores de a, b y c para los que las matrices A y B conmutan
- b) Calcula A^2, A^3, A^{2017} y A^{2018}
- c) Calcula, si existe, la matriz inversa de A


Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales

\left\{
\begin{array}{lllll}
     x &+y & +mz & = & m^2
  \\  & y & -z & = & m
  \\ x &+my & +z & = & m
\end{array}
\right.

- a) Discute el sistema según los valores del parámetro m
- b) Resuélvelo para m=1. Para dicho valor de m, calcula, si es posible, una solución en la que z=2


Calcula todas las matrices X = \left(
\begin{array}{cc}
     a & b
  \\ c & d
\end{array}
\right) tales que a+d=1, tienen determinante 1 y cumplen AX=XA, siendo A = \left(
\begin{array}{cc}
     0 & -1
  \\ 1 & 0
\end{array}
\right)


Dadas las matrices  A = \left(
\begin{array}{ccc}
     2-m & 1 & 2m-1
  \\ 1 & m & 1
  \\  m & 1 & 1
\end{array}
\right) , X = \left(
\begin{array}{c}
     x
  \\  y
  \\ z
\end{array}
\right) ,  B = \left(
\begin{array}{c}
     2m^2-1
  \\  m
  \\ 1
\end{array}
\right) , considera el sistema de ecuaciones lineales dado por X^tA=B^t, donde X^t , B^t denotan las traspuestas. Discútelo según los distintos valores de m


Se consideran las matrices
A = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & \lambda \\1 & -1 &-1 \end{array} \right)
,
B = \left( \begin{array}{cc} 1 & 3 \\\lambda & 0 \\0 & 2 \end{array} \right)
donde \lambda es un número real.

- a) Encontrar los valores de \lambda para los que la matriz AB tiene inversa
- b) Dados a y b números reales cualesquiera, ¿puede ser el sistema A \left( \begin{array}{c} x \\y \\z \end{array} \right) =  \left( \begin{array}{c} a \\b \end{array} \right) compatible determinado con A la matriz del enunciado?.


Teniendo en cuenta que
\left| \begin{array}{ccc} 
a & b & c \\
p & q & r \\
x & y & z
\end{array} \right| = 7 ,

calcular el valor del siguiente determinante sin desarrollarlo

\left| \begin{array}{ccc} 
3a & 3b & 3c \\
a+p & b+q & c+r \\
 -x+a & -y+b & -z+c
\end{array} \right|


La liga de fútbol de un cierto país la juegan 21 equipos a doble vuelta. Este año, los partidos
ganados valían 3 puntos, los empatados 1 punto y los perdidos 0 puntos. En estas condiciones, el equipo campeón de liga obtuvo 70 puntos. Hasta el año pasado los partidos ganados valían 2 puntos y el resto igual. Con el sistema antiguo, el actual campeón hubiera obtenido 50 puntos. ¿Cuantos partidos gano, empató y perdió el equipo campeón?


Dado el siguiente sistema:
 \left\{
\begin{array}{l}
    -z+2x=-1
\\ -x+2y-2=-3
\\ y+3x-5z=-12
\end{array}
\right.

- a) Escribe la matriz de los coeficientes, la matriz ampliada, la de las incógnitas y la de los términos independientes. Expresa el sistema en forma matricial
- b) Resuelve el sistema por el método que desees (Cramer o Gauss). A la vista de las soluciones, ¿de qué tipo es el sistema?


Resuelve por la regla de Cramer el siguiente sistema de ecuaciones
\left\{ \begin{array}{lcc}
             2x + 3y - 3z = -10\\
             x + 2y - 2z = 3\\
             4x - 5y + z = -4
             \end{array}
   \right.


Resuelve por la regla de Cramer el siguiente sistema de ecuaciones
\left\{ \begin{array}{lcc}
             2x + 3y - 3z = -10\\
             x + 2y - 2z = 3\\
             4x - 5y + z = -4
             \end{array}
   \right.


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