EJERCICIOS RESUELTOS - Funciones y Derivadas

Funciones y derivadas- Matemáticas Aplicadas a las C. S. II

Calcula las siguientes derivadas:

- (a) f(x)=\frac{1-3x}{x} + (5x-2)^3
- (b) g(x)=(x^2+2) \cdot Ln(x^2+2)
- (c) h(x)=3^{5x}+e^x


El beneficio obtenido por una empresa, en miles de euros, viene dado por la función

f(x) = 
\left\{
\begin{array}{lcr}
 -5x^2+40x-60 & si & 0 \leq x \leq 6 \\
\\ \frac{5x}{2}-15 & si & 6 <  x \leq 10 \\
\end{array}
\right.

donde x representa el gasto en publicidad en miles de euros.

- a) Represente la función f .
- b) Calcule el gasto en publicidad a partir del cual la empresa no tiene pérdidas.
- c) ¿Para qué gastos en publicidad se producen beneficios nulos?
- d) Calcule el gasto en publicidad que produce máximo beneficio. ¿Cuál
es ese beneficio máximo?


En una empresa han hecho un estudio sobre la rentabilidad de su inversión en publicidad, y han llegado a la conclusión de que el beneficio obtenido, en miles de euros, viene dado por la expresión B(x) = 0.5x^2-4x+6 , siendo x la inversión en publicidad, en miles de euros, con x en el intervalo [0,10] .
- a) ¿Para qué valores de la inversión la empresa tiene pérdidas?
- b) ¿Cuánto tiene que invertir la empresa en publicidad para obtener el mayor beneficio posible?
- c) ¿Cuál es el beneficio si no se invierte nada en publicidad? ¿Hay algún otro valor de la inversión para el cual se obtiene el mismo beneficio?


Sea la función f(x)=2x^2+ax+b
- a) Determine los valores de a y b sabiendo que su gráfica pasa por el punto (1, 3) y alcanza un extremo local en el punto de abscisa x=-2.
- b) Tomando a = 8 y b = -10 deduzca la curvatura de su gráfica, el valor mínimo que alcanza la función y los valores donde la función se anula.


Tras un test realizado a un nuevo modelo de automóvil, se ha observado que el consumo de gasolina, c(x) , expresado en litros, viene dado por la función

c(x)=7.5-0.05x+0.00025x^2


siendo x, la velocidad en km/h

- a) Determine el consumo de gasolina a las velocidades de 50 km/h y 150 km/h.
- b) Estudie el crecimiento y decrecimiento de la función c(x) .
- c) ¿A qué velocidades de ese intervalo se obtiene el mínimo consumo y el máximo consumo y cuáles son éstos?


Un banco lanza al mercado un plan de inversión cuya rentabilidad R(x) , en miles de euros, viene dada en función de la cantidad, x, que se invierte, también en miles de euros, por la siguiente expresión:
R( x) = -0.001x^2 + 0.4 x + 3.5 , con x \geq 10.

- a) Calcule la rentabilidad para una inversión de 100000 euros.
- b) Deduzca y razone qué cantidad habría que invertir para obtener la máxima rentabilidad.
- c) ¿Qué rentabilidad máxima se obtendría?


Se considera la función f(x)=1-\frac{2}{x+2}

- a) Determine la monotonía y curvatura de la función.
- b) Calcule sus asíntotas.
- c) Represéntela gráficamente.


Sea P(t) el porcentaje de células, de un determinado tejido, afectadas por un cierto tipo de enfermedad transcurrido un tiempo t, medido en meses:

 
P(t)= \left\{ \begin{array}{lcc}
              t^2 &   si  & 0 \leq t \leq 5 \\
              \\ \frac{100t-250}{t+5} &  si &  t >5
              \end{array}
    \right.


- a) Estudie la continuidad de la función P.
- b) Estudie la derivabilidad de P en t =5.
- c) Estudie la monotonía de dicha función e interprete la evolución del porcentaje de células afectadas.
- d) ¿En algún momento el porcentaje de células afectadas podría valer 50?


Se estima que el beneficio de una empresa, en millones de euros, para los próximos 10 años viene dado por la función
B(t) = 
\left\{
\begin{array}{lcr}
 at - t^2 & si & 0 \leq t \leq 6 \\
\\ 2t & si & 6 <  t \leq 10 \\
\end{array}
\right.
siendo t el tiempo transcurrido en años.

- a) Calcule el valor del parámetro a para que B sea un función continua.
- b) Para a=8 represente su gráfica e indique en qué periodos de tiempo la función crecerá o decrecerá.
- c) Para a=8 indique en qué momento se obtiene el máximo beneficio en los primeros 6 años y a cuánto asciende su valor.


En el mar hay una mancha producida por una erupción marina. La superficie afectada, en km^2, viene dada por la función f(t)=\frac{11t+20}{t+2}, siendo t el tiempo transcurrido desde que empezamos a observarla.

- a) ¿Cuál es la superficie afectada inicialmente, cuando empezamos a medirla?
- b) Estudie si la mancha crece o decrece con el tiempo
- c) ¿Tiene algún límite la extensión de la superficie de la mancha?


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