EJERCICIOS RESUELTOS - Funciones y Derivadas

Funciones y derivadas- Matemáticas Aplicadas a las C. S. II

a) Calcule la ecuación de la recta tangente a $y=\frac{1}{x-1}$ en el punto de abcisa $x=2$
b) ¿En qué punto de la gráfica de la función $f(x)=2x^2+3x+1$ , la recta tangente es paralela a $y=3x-5$ ?
c) Sea $g(x)=2x^2-8x+a$ . Halle $a$ para que el valor mínimo de $g$ sea $3$

Solución

Estudie la continuidad y derivabilidad de la función:

$f(x)= \left\{ \begin{array}{lcr} x^2-4x+7 & si & x \leq 3 \\ \\ \frac{4}{x-2} & si & x > 3 \\ \end{array} \right.$

Calcule la derivada de $g(x)=(x+1) e^{2x+1}$

Solución

Sean las funciones $f(x)=x^2-4x+6$ y $g(x)=2x-x^2$

(a) Determine, para cada una de ellas, los puntos de corte con los ejes, el vértice y la curvatura. Represéntelas gráficamente
(b) Determine el valor de $x$ para el que se hace mínima la función $h(x) = f(x) - g(x)$ .

Solución

Calcula las siguientes derivadas:

(a) $f(x)=\frac{1-3x}{x} + (5x-2)^3$
(b) $g(x)=(x^2+2) \cdot Ln(x^2+2)$
(c) $h(x)=3^{5x}+e^x$

Solución

El beneficio obtenido por una empresa, en miles de euros, viene dado por la función

$f(x) = \left\{ \begin{array}{lcr} -5x^2+40x-60 & si & 0 \leq x \leq 6 \\ \\ \frac{5x}{2}-15 & si & 6 < x \leq 10 \\ \end{array} \right.$

donde x representa el gasto en publicidad en miles de euros.

a) Represente la función f .
b) Calcule el gasto en publicidad a partir del cual la empresa no tiene pérdidas.
c) ¿Para qué gastos en publicidad se producen beneficios nulos?
d) Calcule el gasto en publicidad que produce máximo beneficio. ¿Cuál
es ese beneficio máximo?

Solución

En una empresa han hecho un estudio sobre la rentabilidad de su inversión en publicidad, y han llegado a la conclusión de que el beneficio obtenido, en miles de euros, viene dado por la expresión $B(x) = 0.5x^2-4x+6$ , siendo x la inversión en publicidad, en miles de euros, con x en el intervalo $[0,10]$ .

a) ¿Para qué valores de la inversión la empresa tiene pérdidas?
b) ¿Cuánto tiene que invertir la empresa en publicidad para obtener el mayor beneficio posible?
c) ¿Cuál es el beneficio si no se invierte nada en publicidad? ¿Hay algún otro valor de la inversión para el cual se obtiene el mismo beneficio?

Solución

Sea la función $f(x)=2x^2+ax+b$

a) Determine los valores de $a$ y $b$ sabiendo que su gráfica pasa por el punto $(1, 3)$ y alcanza un extremo local en el punto de abscisa $x=-2$ .
b) Tomando $a = 8$ y $b = -10$ deduzca la curvatura de su gráfica, el valor mínimo que alcanza la función y los valores donde la función se anula.

Solución

Tras un test realizado a un nuevo modelo de automóvil, se ha observado que el consumo de gasolina, $c(x)$ , expresado en litros, viene dado por la función

$c(x)=7.5-0.05x+0.00025x^2$

siendo $x$ , la velocidad en $km/h$

a) Determine el consumo de gasolina a las velocidades de 50 km/h y 150 km/h.
b) Estudie el crecimiento y decrecimiento de la función c(x) .
c) ¿A qué velocidades de ese intervalo se obtiene el mínimo consumo y el máximo consumo y cuáles son éstos?

Solución

Un banco lanza al mercado un plan de inversión cuya rentabilidad $R(x)$ , en miles de euros, viene dada en función de la cantidad, $x$ , que se invierte, también en miles de euros, por la siguiente expresión:
$R( x) = -0.001x^2 + 0.4 x + 3.5$ , con $x \geq 10$ .

a) Calcule la rentabilidad para una inversión de 100000 euros.
b) Deduzca y razone qué cantidad habría que invertir para obtener la máxima rentabilidad.
c) ¿Qué rentabilidad máxima se obtendría?

Solución

Se considera la función $f(x)=1-\frac{2}{x+2}$

a) Determine la monotonía y curvatura de la función.
b) Calcule sus asíntotas.
c) Represéntela gráficamente.

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