EJERCICIOS RESUELTOS - Geometría en el Espacio

Ejercicios de Geometría en el espacio. Bachillerato

Comprueba que los siguientes vectores forman una base:
\vec{u} (-1,1,1) \quad \vec{v} (1,-1,1) \quad \vec{w} (1,1,-1)


Comprueba que los siguientes vectores forman una base:
\vec{u} (-1,1,1) \quad \vec{v} (1,-1,1) \quad \vec{w} (1,1,-1)


Considera los puntos A(1,0-1) , B(2,1,0) y C(1,1,0)

- a) Determina los vectores \vec{AB} y \vec{AC}
- b) Calcula la distancia entre los puntos A y B
- c) Calcula el producto escalar \vec{AB} \cdot \vec{AC}
- d) Calcula el producto vectorial \vec{AB} \times \vec{AC}
- e) Halla el área del triángulo determinado por los puntos A , B y C


Consideramos los puntos A(1,2,3) , B(-1,0,1) y C(2,0,1).

- a) Calcula d(A,B) (distancia entre los puntos A y B)
- b) \vec{AB} \cdot \vec{AC} (producto escalar)
- c) Calcula el perímetro del triángulo de vértices A, B y C
- d) Halla el área del triángulo de vértices A, B y C


Halla el valor de m para que los vectores \vec{u}(m,2,3) y \vec{v}(2,-3,5) sean ortogonales


Dados los vectores \vec{v_1}=(3,-1,4) ; \vec{v_2}=(-3,0,5) ; \vec{v_3}=(2,1,0) se pide:

a) ¿Forman una base de {\Re}^3? ¿Por qué?

b) Realiza las siguientes operaciones:

  • b1) \vec{v_1} - (\vec{v_2} - 2 \vec{v_3})
  • b2) \vec{v_2} \cdot \vec{v_3}
  • b3) \vec{v_1} \times \vec{v_3}

Considera los puntos A(0,0,1) , B(1,0,-1) , C(0,1,-2) y D(1,2,0)

- a) Calcula el módulo de los vectores \vec{AB} y \vec{AC}
- b) Los vectores \vec{AB} , \vec{AC} y \vec{AD} ¿son linealmente independientes?
- c) Calcula el producto escalar \vec{AB} \cdot \vec{AC}
- d) Halla el área del triángulo determinado por los puntos A , B y C


Calcula el volumen del paralelepípedo definido por los puntos A(1,1,1) , B(3,1,4) , C(-2,-4,6) y D(-3,4,-1)


Calcula el volumen del tetraedro ABCD y la altura del vértice B sobre la cara ACD con los siguientes datos:
[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}]=3 (producto mixto)
|\vec{v} \times \vec{w}|=1 (módulo de producto vectorial)
\vec{AB} = \vec{u}-\vec{v}
\vec{AC} = \vec{w}
\vec{AD} = \vec{w}+2\vec{v}


1º BACH. CIENCIAS 1º BACH. SOC. 1º ESO 2º BACH. CIENCIAS 2º BACH. SOC. 2º ESO 3º ESO 4º ESO