EJERCICIOS RESUELTOS - Geometría en el Espacio

Ejercicios de Geometría en el espacio. Bachillerato

Dados los vectores \vec{u} = (-3,5,1) y \vec{v} = (7,4,-2) , realiza las siguientes operaciones:

– 2 \vec{u}
– 0 \vec{v}
– -\vec{u}
– 2 \vec{u} + \vec{v}
– \vec{u} - \vec{v}
– 5 \vec{u}- 3 \vec{v}


Dados los vectores \vec{x}(1,-5,2) , \vec{y}(3,4,-1) . \vec{z}(6,3,-5) , \vec{w}(24,-26,-6) , calcula a, b, c de forma que se cumpla: a\vec{x}+b\vec{y}+c\vec{z}=\vec{w}


Dados los vectores \vec{u}(3,-1,5) , \vec{v}(4,7,11) y \vec{w}(-2,k,3) ,

– Calcula \vec{u} \cdot \vec{v}
– Halla el valor de k para que \vec{u} \perp \vec{w}


Calcula el ángulo que forman las rectas r y s, siendo sus ecuaciones las siguientes:

r \equiv \frac{x+2}{3} = \frac{y}{-1} = \frac{z-3}{2} \qquad s \equiv \left\{ \begin{array}{l} x=4-3t \\y=-2+t \\z=1+t \end{array}\right.


Halla el ángulo que forman los vectores \vec{u}(1,5,0) y \vec{v}(-3,0,2)


Dadas las siguientes rectas:

r : \left\{ \begin{array}{ccc} x - 2y -z =0\\ x + y +3z =-1 \end{array} \right. \quad s : \left\{ \begin{array}{ccc} x =1\\ z =-2 \end{array} \right.
Halla el ángulo entre r y s.


Calcula el área del triángulo de vértices A(0,3,0) , B(2,0,0)
y C(0,0,-5)


Los puntos A(3,0,0), B(0,3,0) y C(0,0,3) son tres de los vértices de un tetraedro. El cuarto vértice D está contenido en la recta r que pasa por el punto P(1,1,1) y es perpendicular al plano \pi que contiene a los puntos A, B y C.

– a) Calcule la ecuación del plano que contiene a los puntos A, B y C.
– b) Calcule la ecuación de la recta r que pasa por el punto P(1,1,1) y es perpendicular al plano \pi
– c) Calcule las coordenadas del vértice D sabiendo que el volumen del tetraedro es 18.


Demuestre que los tres puntos (1,-1, 3), (2, 1 ,7) y (4, 2, 6) son los vértices de un triángulo rectángulo y calcule su área.


Halla la distancia entre las rectas:
r \equiv \frac{x+3}{3}=\frac{y-9}{-2} = \frac{z-8}{-2}
s \equiv \frac{x-3}{-2}=\frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{2}


  •  (1883) Ejercicios Resueltos
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