EJERCICIOS RESUELTOS - Matrices, Determinantes y Sistemas

Matrices, Determinantes y Sistemas de Ecuaciones - 2º Bach. Sociales

Solución

Averigua las dimensiones de las matrices $A$ , $B$ y $C$ para que se cumplan todas las condiciones siguientes:

a) Se pueda sumar $A$ con una matriz $3 \times 3$

b) Se pueda multiplicar $A \cdot B$ pero no $B \cdot A$

c) Se pueda calcular $C^{-1}$

d) $B$ tenga el mismo número de columnas que $C$ de filas.

e) El rango de $C$ es $2$ y coincide con su número de columnas.

Solución

Sea la matriz $A = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & -1 \\ 2 & 1 & 0 \\ -1 & -1 & 1 \end{array} \right)$
Justifica por qué existe la inversa y calcúlala.

Solución

Resuelve la ecuación matricial $XAB - XC = 2C$ , siendo

$A = \left( \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{array} \right)$ $\qquad$
$B = \left( \begin{array}{cc} 2 & -1 \\ 1 & 2 \end{array} \right)$ $\qquad$
$C = \left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ -1 & 2 \end{array} \right)$

Solución

Sean las matrices $A = \left( \begin{array}{cc} 6 & 0 \\ 2 & 4 \end{array} \right)$ , $B = \left( \begin{array}{c} -4 \\ 6 \end{array} \right)$ , $C = \left( -2 \quad -2 \right)$

a) Justifique cuáles de las siguientes operaciones se pueden realizar y efectúelas
cuando sea posible:
$B + 2 C \cdot A$
$A - \left( B \cdot C \right)^t$

b) Resuelva la siguiente ecuación matricial: $\frac{1}{5} (B + A \cdot X) = C^t$

Solución

Calcula la inversa de la siguiente matriz usando el método de Gauss-Jordan
$A=\left( \begin{array}{cc} 3 & 5 \\ 7 & 2 \end{array} \right)$

Solución

Dada la siguiente tabla

	Arroz 1 kg	Patatas 1 kg	Tomates 1 kg
Supermercado 1	1.25 euros	0.8 euros	1.15 euros
Supermercado 2	1.5 euros	75 céntimos	1.2 euros
Supermercado 3	1.35 euros	0.9 euros	1 euros y 30 céntimos

a) Expresa los datos mediante una matriz que llamaremos A.

b) ¿Es una matriz cuadrada? Justifica tu respuesta. Escribe la dimensión de la matriz.

c) Identifica en la matriz el elemento $a_{32}$ . ¿A qué elemento de la matriz correspondería el valor 1,15 euros?

d) Escribe los valores de la diagonal principal y a qué elementos de la matriz corresponderían.

e) Escribe la matriz $A^t$ (traspuesta de A).

Solución

Dada la matriz
$A = \left( \begin{array}{ccc} -1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & -1 \\ 0 & 3 & 2 \end{array} \right)$

a) Calcula |A| (determinante de A)
b) Calcula el rango de A por determinantes o por Gauss.

Solución

Dadas las matrices
$A = \left( \begin{array}{ccc} -1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 3 \end{array} \right)$ , $B = \left( 1 \quad 3 \quad 4 \right)$ , $C = \left( \begin{array}{cc} 2 & 1 \\ -1 & 3 \end{array} \right)$ , $D = \left( \begin{array}{cc} 5 & -1 \\ 2 & 0 \end{array} \right)$
De las operaciones siguientes, indica justificadamente cuáles no se pueden realizar y efectúa todas aquellas que puedas hacer.

a) $A+B$
b) $A \cdot C$
c) $2 \cdot C+3 \cdot D$
d) $B \cdot A^t$
e) $C^{-1}-D$

Solución

Sean las matrices
$A = \left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} \right)$ $\qquad$
$B = \left( \begin{array}{cc} 2 & 3 \\ -1 & 2 \end{array} \right)$
– Resuelve la ecuación matricial $AX + 2B = A^t$
– Calcule $A^{2000}$

Solución

Sean las matrices A = $\left( \begin{array}{cc} 0 & 2 \\ 3 & 0 \end{array} \right)$ y B = $\left( \begin{array}{cc} a & b \\ 6 & 1 \end{array} \right)$
– a) Calcule los valores de a y b para que $A \cdot B = B \cdot A$
– b) Para $a=1$ y $b=0$ , resuelva la ecuación matricial $X \cdot B - A = I_2$

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