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 Ejercicios Resueltos de Matrices, Determinantes y Sistemas

Matrices, Determinantes y Sistemas de Ecuaciones - 2º Bach. Sociales

Resuelve la ecuación matricial XAB - XC = 2C , siendo


A =
\left(
\begin{array}{cc}
1 & 2
\\ 0 & 3
\end{array}
\right)
\qquad B =
\left(
\begin{array}{cc}
2 & -1
\\ 1 & 2
\end{array}
\right)
\qquad C =
\left(
\begin{array}{cc}
0 & 1
\\ -1 & 2
\end{array}
\right)


Sean las matrices A = \left(
\begin{array}{cc}
6 & 0
\\ 2 & 4
\end{array}
\right) , B = \left(
\begin{array}{c}
-4
\\ 6
\end{array}
\right) , C = \left(    -2 \quad -2 \right)

a) Justifique cuáles de las siguientes operaciones se pueden realizar y efectúelas
cuando sea posible:
 B + 2 C \cdot A
 A - \left( B \cdot C \right)^t

b) Resuelva la siguiente ecuación matricial:  \frac{1}{5} (B + A \cdot X) = C^t


Dada la siguiente tabla

Arroz 1 kg Patatas 1 kg Tomates 1 kg
Supermercado 11.25 euros0.8 euros1.15 euros
Supermercado 21.5 euros75 céntimos1.2 euros
Supermercado 31.35 euros0.9 euros1 euros y 30 céntimos

a) Expresa los datos mediante una matriz que llamaremos A.

b) ¿Es una matriz cuadrada? Justifica tu respuesta. Escribe la dimensión de la matriz.

c) Identifica en la matriz el elemento a_{32}. ¿A qué elemento de la matriz correspondería el valor 1,15 euros?

d) Escribe los valores de la diagonal principal y a qué elementos de la matriz corresponderían.

e) Escribe la matriz A^t (traspuesta de A).


Dada la matriz
A =
\left(
\begin{array}{ccc}
-1 & 0 & 1
\\ 2 & 1 & -1
\\ 0 & 3 & 2
\end{array}
\right)

a) Calcula |A| (determinante de A)
b) Calcula el rango de A por determinantes o por Gauss.


Dadas las matrices
A = \left(
\begin{array}{ccc}
-1 & 2 & 1
\\ 1 & 0 & 3
\end{array}
\right) , B = \left(    1 \quad 3 \quad 4 \right) , C = \left(
\begin{array}{cc}
2 & 1
\\ -1 & 3
\end{array}
\right) , D = \left(
\begin{array}{cc}
5 & -1
\\ 2 & 0
\end{array}
\right)
De las operaciones siguientes, indica justificadamente cuáles no se pueden realizar y efectúa todas aquellas que puedas hacer.

a)  A+B
b)  A \cdot C
c) 2 \cdot C+3 \cdot D
d) B \cdot A^t
e) C^{-1}-D


Sean las matrices

A =
\left(
\begin{array}{cc}
1 & 1
\\ 0 & 1
\end{array}
\right)
\qquad 
B =
\left(
\begin{array}{cc}
2 & 3
\\ -1 & 2
\end{array}
\right)
- Resuelve la ecuación matricial AX + 2B = A^t
- Calcule A^{2000}


Sean las matrices A = \left(
\begin{array}{cc}
0 & 2
\\ 3 & 0
\end{array}
\right) y B = \left(
\begin{array}{cc}
a & b
\\ 6 & 1
\end{array}
\right)
- a) Calcule los valores de a y b para que A \cdot B = B \cdot A
- b) Para a=1 y b=0, resuelva la ecuación matricial X \cdot B - A = I_2


Sea la matriz A =
\left(
\begin{array}{cc}
1 & a
\\ 0 & 1
\end{array}
\right)
Obtenga la matriz A^{2014}


Sea la matriz A =
\left(
\begin{array}{cc}
1 & 2
\\ 0 & 1
\end{array}
\right)
Hallar las matrices B que conmuten con A; es decir: A \cdot B = B \cdot A


Dado el siguiente sistema de ecuaciones,
\left.
\begin{array}{ccc}
2x - 3y + 4z & = & 1 \\
x-y & = & 5 \\
-y+x-2 & = & 3z
\end{array}
\right\}

a) Escribe la matriz de los coeficientes y la matriz ampliada del sistema anterior.
b) Convierte, a través de transformaciones elementales, la matriz ampliada anterior en matriz escalonada.


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