EJERCICIOS RESUELTOS - Geometría en el Espacio

Ejercicios de Geometría en el espacio. Bachillerato

Halla dos puntos y dos vectores directores de la recta
r \equiv 
\left\{ 
\begin{array}{lll}
x=3-2t
\\y = -1+3t
\\z = 2+2t
\end{array}
\right.


Halla dos puntos y dos vectores directores de la recta
r \equiv 
\left\{ 
\begin{array}{lll}
3x+2y-7=0
\\2x+2z-10=0
\end{array}
\right.


Halla la ecuación del plano que pasa por los puntos A(2,3,5) , B(1,1,2) y C(3,6,10)


Dados los puntos A(1,-2,5), B(1,0,1) y C(0,-1,1), se pide:

- a) Ecuación del plano \pi que pasa por A, B y C
- b) Vector normal al plano \pi
- c) Ecuación de una recta perpendicular al plano \pi y que pase por el punto (0,0,1)


Encuentra dos puntos y dos vectores directores de las siguientes rectas:

a) \left\{ \begin{array}{lll}
x=1+\lambda \\  
y=-2+2\lambda \\
z=\lambda
\end{array}
\right.

b) \frac{x+1}{1}=\frac{y+2}{2}=\frac{z}{3}

c) \left\{ \begin{array}{ll}
 x+y+z=1 \\  
 x-y-z=-3  
\end{array}
\right.


Encuentra dos puntos y dos vectores directores de las siguientes rectas:

a) \left\{ \begin{array}{lll}
x=3+2\lambda \\  
y=-2+\lambda \\
z=-1+\lambda
\end{array}
\right.

b) \frac{x+1}{1}=\frac{y+2}{2}=\frac{z}{3}

c) \left\{ \begin{array}{ll}
 x+y-z=4 \\  
 x-y-2z=-5  
\end{array}
\right.


Dados los siguientes vectores
\vec{v}=(1,0,-3) \quad \vec{w}=(1,-1,1) \quad \vec{t}=(0,2,-8)
Se pide:

a) Efectúa la operación \vec{v} + \vec{w} - \vec{t}
b) Comprueba si los tres vectores forman una base de R^3


Considere las siguientes rectas:

r: \: \frac{x-5}{1}=\frac{y-6}{1}=\frac{z+1}{1} y
s: \: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z+1}{-1}

a) Estudie la posición relativa de ambas rectas.
b) En caso de que las rectas se corten, calcule el plano que las contiene y el ángulo que forman ambas rectas. En caso de que las rectas se crucen, calcule la perpendicular común a ambas rectas.


Halla la ecuación del plano que contiene a la recta r de ecuaciones
 \left\{
\begin{array}{lll}
x= 1 - \lambda \\
y = 1 - \lambda \\
z = 2 
\end{array}
\right.

y es paralelo a la recta s definida por
 \frac{x}{1} =  \frac{y-1}{1} =  \frac{2-z}{1}


Estudia la posición relativa de la recta r y el plano \alpha en los siguientes casos:

a) r : \left\{
\begin{array}{ccc}
x & = & 2 + 3 \lambda \\
y & = & 2 \lambda \\
z & = & -2 +4 \lambda 
\end{array}
\right. \qquad \alpha : 3x-y+2z+1=0

b) r : \left\{
\begin{array}{ccc}
x & = & 2t + 3 \\
y & = &  t-1\\
z & = & t+2
\end{array}
\right. \qquad \alpha : x-3y+z-8=0


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