EJERCICIOS RESUELTOS - Geometría en el Espacio

Ejercicios de Geometría en el espacio. Bachillerato

Consideramos los puntos A(1,1,0) , B(0,1,2) y C(1,1,1).

- a) Calcula d(A,B) (distancia entre los puntos A y B)
- b) \vec{AB} \cdot \vec{AC} (producto escalar)
- c) Calcula el perímetro del triángulo de vértices A, B y C
- d) Halla el área del triángulo de vértices A, B y C


Halla dos puntos y dos vectores directores de la recta
r \equiv 
\left\{ 
\begin{array}{lll}
x=3-2t
\\y = -1+3t
\\z = 2+2t
\end{array}
\right.


Halla dos puntos y dos vectores directores de la recta
r \equiv 
\left\{ 
\begin{array}{lll}
3x+2y-7=0
\\2x+2z-10=0
\end{array}
\right.


Halla la ecuación del plano que pasa por los puntos A(2,3,5) , B(1,1,2) y C(3,6,10)


Dados los puntos A(1,-2,5), B(1,0,1) y C(0,-1,1), se pide:

- a) Ecuación del plano \pi que pasa por A, B y C
- b) Vector normal al plano \pi
- c) Ecuación de una recta perpendicular al plano \pi y que pase por el punto (0,0,1)


Encuentra dos puntos y dos vectores directores de las siguientes rectas:

a) \left\{ \begin{array}{lll}
x=1+\lambda \\  
y=-2+2\lambda \\
z=\lambda
\end{array}
\right.

b) \frac{x+1}{1}=\frac{y+2}{2}=\frac{z}{3}

c) \left\{ \begin{array}{ll}
 x+y+z=1 \\  
 x-y-z=-3  
\end{array}
\right.


Encuentra dos puntos y dos vectores directores de las siguientes rectas:

a) \left\{ \begin{array}{lll}
x=3+2\lambda \\  
y=-2+\lambda \\
z=-1+\lambda
\end{array}
\right.

b) \frac{x+1}{1}=\frac{y+2}{2}=\frac{z}{3}

c) \left\{ \begin{array}{ll}
 x+y-z=4 \\  
 x-y-2z=-5  
\end{array}
\right.


Dados los siguientes vectores
\vec{v}=(1,0,-3) \quad \vec{w}=(1,-1,1) \quad \vec{t}=(0,2,-8)
Se pide:

a) Efectúa la operación \vec{v} + \vec{w} - \vec{t}
b) Comprueba si los tres vectores forman una base de R^3


Considere las siguientes rectas:

r: \: \frac{x-5}{1}=\frac{y-6}{1}=\frac{z+1}{1} y
s: \: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z+1}{-1}

a) Estudie la posición relativa de ambas rectas.
b) En caso de que las rectas se corten, calcule el plano que las contiene y el ángulo que forman ambas rectas. En caso de que las rectas se crucen, calcule la perpendicular común a ambas rectas.


Resuelve los siguientes apartados:
- a) Calcular la ecuación del plano \pi que pasa por P(3,-1,-1) y es perpendicular a la recta
r \equiv \left\{
x + y +z = 1 \atop
 2x + y = 3
\right.

- b) Corta el plano anterior con los tres ejes de coordenadas y obtendrás tres puntos A, B y C. Calcula el Volumen del tetraedro que determinan.


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