EJERCICIOS RESUELTOS - Matrices, Determinantes y Sistemas

Matrices, Determinantes y Sistemas de Ecuaciones - 2º Bach. Sociales

Dadas las siguientes matrices
A=\left(
\begin{array}{ccc}
     -2 & 6 & 5
  \\ 0 & 1 & 1
  \\ 6 & -3 & 0
\end{array}
\right) y B=\left(
\begin{array}{ccc}
     -3 & 0 & 1
  \\ -1 & -2 & 0
  \\ 2 & 1 & -1
\end{array}
\right)

- a) Calcula el rango de A. ¿Existe la inversa de A? ¿Por qué?
- b) Calcula, si es posible, la inversa de la matriz B.


Dadas las siguientes matrices
A=\left(
\begin{array}{ccc}
     1 & -2 & 0
  \\ 3 & 1 & -1
  \\ 0 & -2 & 2
\end{array}
\right) \qquad
B=\left(
\begin{array}{ccc}
     3 & 1 & -1
  \\ -4 & 0 & 2
\end{array}
\right) \qquad
C=\left(
\begin{array}{ccc}
     0 & 2 & -2
  \\ 1 & 3 & 0
\end{array}
\right)

Indica razonadamente cuáles de las siguientes operaciones se pueden hacer y cuáles no y realiza todas aquellas que sí se puedan:

- a) A^t + B
- b) A \cdot C^t
- c) |A|
- d) |C|
- e) C - 2B


Una empresa tiene tres factorías, F1, F2, F3, en las que se fabrican diariamente tres tipos diferentes de productos, A, B y C, como se indica a continuación:

F1: 200 unidades de A, 40 de B y 30 de C.

F2: 20 unidades de A, 100 de B y 200 de C.

F3: 80 unidades de A, 50 de B y 40 de C.

Cada unidad de A que se vende proporciona un beneficio de 5 euros; por cada unidad de B, se obtienen 20 euros de beneficio; y por cada una de C, 30 euros.

Sabiendo que la empresa vende toda la producción diaria, obtén matricialmente el beneficio diario obtenido con cada una de las tres factorías.


El dueño de una librería va a poner a la venta libros de tres géneros diferentes: idiomas, infantil e informática.
El dueño se ha fijado como objetivo vender 150 ejemplares y quiere obtener unos ingresos por venta de 2300 €. El precio de los libros de idiomas los ha fijado a 20€/libro, los de informática a 15€/libro y a los de infantil les va a hacer un descuento del 30% sobre 10€ que costaban el año anterior. Además sabe por ventas de otros años, que el número de libros de temática infantil va a ser la mitad de los libros de temática de idiomas. Teniendo en cuenta las condiciones descritas, ¿cuántos ejemplares debería vender de cada género para obtener su objetivo?
A continuación te pedimos que respondas a cada una de las siguientes cuestiones.
1.- Identifica y nombra cada una de las incógnitas que aparecen.
2.- Determina el precio que cuesta cada libro según su género, teniendo en cuenta que para calcular el precio de los libros de temática infantil se le va a aplicar el 30% de descuento al precio de venta del año pasado que fue de 10€ cada libro.
3.- Plantea un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas.
4.- Resuelve el sistema de ecuaciones por el método de Gauss matricialmente.


Sean las matrices
 A =
\left(
\begin{array}{cc}
     x & 1 
  \\ 1 & x+1
\end{array}
\right)
\qquad
 B =
\left(
\begin{array}{cc}
     0 & 1 
  \\ 1 & 1
\end{array}
\right)

- a) Encuentre el valor o valores de x de forma que B^2 = A
- b) Igualmente para que A - I_2 = B^{-1}
- c) Determine x para que A \cdot B = I_2


Sean las matrices
A =\left(
\begin{array}{cc}
 2 & 1 \\
 1 & 1
\end{array}
\right) ,
B =\left(
\begin{array}{cc}
 1 & x \\
 x & 0
\end{array}
\right) y
C =\left(
\begin{array}{cc}
 0 & -1 \\
 -1 & 2
\end{array}
\right)

- (a) Encuentre el valor o valores de x de forma que B^2=A
- (b) Igualmente para B+C=A^{-1}
- (c) Determine x para que A+B+C=3 \cdot I_2


Sean las matrices:
P = 
\left(
\begin{array}{cc}
     1 & 2
  \\ a & 0
\end{array}
\right) ,
Q = 
\left(
\begin{array}{ccc}
     1 & 1 & 5
  \\ 8 & 4 & b
\end{array}
\right)
y
R = 
\left(
\begin{array}{ccc}
     c & d & 6
  \\ 10 & 10 & 50
\end{array}
\right)

- a) Calcule, si es posible, P \cdot Q y Q \cdot P , razonando la respuesta
- b) ¿Cuánto deben valer las constantes a, b, c y d para que P \cdot 2Q = R ?


Sean las matrices
A=
\left(
\begin{array}{ccc}
     0 & 1 & 0
  \\ 1 & 0 & 1
\end{array}
\right)
y
B=
\left(
\begin{array}{cc}
     3 & -1
  \\ 1 & 2
\end{array}
\right)

- a) Efectúe, si es posible, los siguientes productos:
A \cdot A^t ; A^t \cdot A ; A \cdot B
- b) Resuelva la siguiente ecuación matricial A \cdot A^t \cdot X = B


Sean las matrices
A=
\left(
\begin{array}{cc}
     \frac{1}{5} & 0
  \\ -\frac{2}{5} & \frac{3}{5}
\end{array}
\right)
,
B=
\left(
\begin{array}{cc}
     \frac{3}{5} & -1
  \\ \frac{4}{5} & \frac{4}{5}
\end{array}
\right)
,
C=
\left(
\begin{array}{ccc}
     1 & 0 & -1
  \\ 2 & 1 & 3
\end{array}
\right)

- a) Resuelva la ecuación matricial (2A+B) \cdot X = 3A - B
- b) Determine en cada caso la dimensión de la matriz D para que se puedan realizar las siguientes operaciones: C \cdot D+A , C^t \cdot D \cdot C , D \cdot C^t , C \cdot D \cdot C^t


- a) Determine los valores de x e y que hacen cierta la igualdad
\left(
\begin{array}{cc}
     2 & -1
  \\ 3 & -1
\end{array}
\right)
\cdot
\left(
\begin{array}{c}
     x
  \\ -y
\end{array}
\right)
=\left(
\begin{array}{cc}
     1 & x
  \\ y & -1
\end{array}
\right)
\cdot
\left(
\begin{array}{c}
     3
  \\ 0
\end{array}
\right)
- b) Resuelva la ecuación matricial
X \cdot
\left(
\begin{array}{cc}
     1 & 3
  \\ 2 & 5
\end{array}
\right) - 2 \cdot
\left(
\begin{array}{cc}
     0 & -1
  \\ -1 & 0
\end{array}
\right) =
\left(
\begin{array}{cc}
     1 & 2
  \\ 3 & -1
\end{array}
\right)


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