EJERCICIOS RESUELTOS - Matrices, Determinantes y Sistemas

Matrices, Determinantes y Sistemas de Ecuaciones - 2º Bach. Sociales

El dueño de una librería va a poner a la venta libros de tres géneros diferentes: idiomas, infantil e informática.
El dueño se ha fijado como objetivo vender 150 ejemplares y quiere obtener unos ingresos por venta de 2300 €. El precio de los libros de idiomas los ha fijado a 20€/libro, los de informática a 15€/libro y a los de infantil les va a hacer un descuento del 30% sobre 10€ que costaban el año anterior. Además sabe por ventas de otros años, que el número de libros de temática infantil va a ser la mitad de los libros de temática de idiomas. Teniendo en cuenta las condiciones descritas, ¿cuántos ejemplares debería vender de cada género para obtener su objetivo?
A continuación te pedimos que respondas a cada una de las siguientes cuestiones.
1.- Identifica y nombra cada una de las incógnitas que aparecen.
2.- Determina el precio que cuesta cada libro según su género, teniendo en cuenta que para calcular el precio de los libros de temática infantil se le va a aplicar el 30% de descuento al precio de venta del año pasado que fue de 10€ cada libro.
3.- Plantea un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas.
4.- Resuelve el sistema de ecuaciones por el método de Gauss matricialmente.

Solución

Un cliente de un supermercado ha pagado un total de 156 euros por 24 litros
de leche, 6 kg de jamón serrano y 12 litros de aceite de oliva.
Plantee y resuelva un sistema de ecuaciones para calcular el precio unitario de cada artículo, sabiendo que 1 litro de aceite cuesta el triple que un litro de leche y que 1 kg de jamón cuesta igual que 4 litros de aceite más 4 litros de leche.

Solución

Sean las matrices
$A = \left( \begin{array}{cc} x & 1 \\ 1 & x+1 \end{array} \right)$
$\qquad$
$B = \left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} \right)$

– a) Encuentre el valor o valores de x de forma que $B^2 = A$
– b) Igualmente para que $A - I_2 = B^{-1}$
– c) Determine x para que $A \cdot B = I_2$

Solución

Sean las matrices
$A =\left( \begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} \right)$ ,
$B =\left( \begin{array}{cc} 1 & x \\ x & 0 \end{array} \right)$ y
$C =\left( \begin{array}{cc} 0 & -1 \\ -1 & 2 \end{array} \right)$

– (a) Encuentre el valor o valores de $x$ de forma que $B^2=A$
– (b) Igualmente para $B+C=A^{-1}$
– (c) Determine $x$ para que $A+B+C=3 \cdot I_2$

Solución

Sean las matrices
$A =\left( \begin{array}{ccc} 1 & -2 & 1\\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 3 & 0 \end{array} \right)$ ,

$X =\left( \begin{array}{c} x \\ y \\ -2 \end{array} \right)$ e

$Y =\left( \begin{array}{cc} -x \\ 2 \\ z \end{array} \right)$

– (a) Determine la matriz inversa de $A$
– (b) Halle los valores de $x$ , $y$ , $z$ para los que se cumple $A \cdot X = Y$

Solución

Sean las matrices:
$P = \left( \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ a & 0 \end{array} \right)$ ,
$Q = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 5 \\ 8 & 4 & b \end{array} \right)$ y
$R = \left( \begin{array}{ccc} c & d & 6 \\ 10 & 10 & 50 \end{array} \right)$

– a) Calcule, si es posible, $P \cdot Q$ y $Q \cdot P$ , razonando la respuesta
– b) ¿Cuánto deben valer las constantes a, b, c y d para que $P \cdot 2Q = R$ ?

Solución

Sean las matrices
$A= \left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{array} \right) \qquad \quad B=\left( \begin{array}{cc} 3 & -1 \\ 1 & 2 \end{array} \right)$

a) Efectúe, si es posible, los siguientes productos:

– a1) $A \cdot A^t$
– a2) $A^t \cdot A$
– a3) $A \cdot B$

b) Resuelva la siguiente ecuación matricial $A \cdot A^t \cdot X = B$

Solución

Sean las matrices
$A=\left( \begin{array}{cc} \frac{1}{5} & 0 \\ -\frac{2}{5} & \frac{3}{5} \end{array} \right)$
,
$B=\left( \begin{array}{cc} \frac{3}{5} & -1 \\ \frac{4}{5} & \frac{4}{5} \end{array} \right)$
,
$C= \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & -1 \\ 2 & 1 & 3 \end{array} \right)$

– a) Resuelva la ecuación matricial $(2A+B) \cdot X = 3A - B$
– b) Determine en cada caso la dimensión de la matriz D para que se puedan realizar las siguientes operaciones: $C \cdot D+A$ , $C^t \cdot D \cdot C$ , $D \cdot C^t$ , $C \cdot D \cdot C^t$

Solución

– a) Determine los valores de x e y que hacen cierta la igualdad
$\left( \begin{array}{cc} 2 & -1 \\ 3 & -1 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x \\ -y \end{array} \right) =\left( \begin{array}{cc} 1 & x \\ y & -1 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} 3 \\ 0 \end{array} \right)$
– b) Resuelva la ecuación matricial
$X \cdot \left( \begin{array}{cc} 1 & 3 \\ 2 & 5 \end{array} \right) - 2 \cdot \left( \begin{array}{cc} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & -1 \end{array} \right)$

Solución

Se consideran las matrices
$A=\left( \begin{array}{ccc} a & 4 \\ 6 & 8 \end{array} \right)$ $\: \: , \: \:B=\left( \begin{array}{ccc} 2 & 2 \\ 3 & 3 \end{array} \right) \: \quad$ y $\: C=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 \end{array} \right)$

a) Calcule el valor del parámetro $a$ para que la matriz $A$ no tenga inversa.
b) Para $a = 3$ , resuelva la ecuación matricial $X \cdot A - X \cdot B = C$ .
c) Para $a = 3$ , compruebe que $A^2 = 11 \cdot A$ y exprese $A^8$
en función de la matriz $A$ .

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