EJERCICIOS RESUELTOS - Funciones, Derivadas e Integrales

Análisis matemático: Funciones, Límites, Derivadas e Integrales

Dada la función f(x)=\frac{\sqrt{x^2-9}}{x-1} , se pide:
a) Dominio de definición y puntos de corte con los ejes.
b) Estudio de las asíntotas (verticales, horizontales y oblicuas).
c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. Extremos (máximos y mínimos).
d) Representación gráfica aproximada.


Para la función f(x)=\frac{x^2}{x-1} , se pide:
a) Dominio de definición y puntos de corte con los ejes.
b) Estudio de las asíntotas (verticales, horizontales y oblicuas).
c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. Extremos (máximos y mínimos).
d) Representación gráfica aproximada.


Sea la función dada por

f(x) = \left\{
\begin{array}{ccc}
\frac{x}{1-e^x} & si & x  \neq 0 \\
 -1 & si & x = 0
\end{array}
\right.
a) Demuestre que es continua en todo R
b) Determine si la función es derivable en x = 0 y, en caso afirmativo, calcule f\textsc{\char13}(x).


Dada la función f(x)=\frac{e^x}{x}, se pide:

a) Dominio de definición y cortes con los ejes.
b) Estudio de las asíntotas (verticales, horizontales y oblicuas).
c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. Extremos (máximos y mínimos).
d) Representación gráfica aproximada.


Dada la función f(x) = x \cdot Ln(x)-x , se pide:
a) Determine el punto de la gráfica de f para el cual la recta tangente es paralela a la bisectriz del primer cuadrante. Calcule la ecuación de dicha recta.
b) Determine el punto de la gráfica de f para el cual la recta tangente es paralela al eje OX. Calcule la ecuación de dicha recta.


Considere la función 
f(x) = \left\{
\begin{array}{ccc}
x^2+ax-3 & si & x  \leq 1 \\
Ln(x^2)+b & si & x > 1
\end{array}
\right.
Determine los valores de los parámetros a y b para los cuales la función f(x) es continua y derivable en todo R.


Para la función f(x)= x \cdot \left( \sqrt{\frac{x+1}{x-1}}-1 \right) , se pide:
a) Dominio de definición
b) Calcule \lim_{x \rightarrow 1^+}f(x). ¿Es posible calcular también \lim_{x \rightarrow 1^-}f(x)?. Justifique la respuesta
c) Calcule \lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)


- Dibuje la región encerrada por las curvas y=2x y y=x^2-4x
- Encuentre el área de dicha región


De las siguientes funciones indica para cada una: tipo de función y dominio.

- a) f(x) = -x^3+4x
- b) f(x) = \frac{x+1}{x^3+3}
- c) f(x) = \sqrt{x-2}
- d) f(x) = 5^x
- e) f(x) = |x+3|


Suponga que la velocidad de crecimiento de una población en el instante t sufre variaciones estacionales en su tamaño de acuerdo con la ecuación
\frac{dN}{dt} = 3 \sen (2 \pi t)
donde t se mide en años e indica el tamaño de la población en el instante t. Si N(0)=10 (en unidades de miles), calcule una expresión de N(t). ¿Cómo se reflejan las variaciones estacionales de la velocidad de crecimiento en el tamaño de la población?


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