EJERCICIOS RESUELTOS - Geometría en el Espacio

Ejercicios de Geometría en el espacio. Bachillerato

Dados los puntos A(3,-2,-2), B(1,0,1) y C(2,1,-1)
y el plano \alpha : \left\{
\begin{array}{ccc}
x & = & 1 - \lambda + \mu \\
y & = &  \lambda - \mu \\
z & = & 2 - \lambda - \mu 
\end{array}
\right.

Se pide:

a) Comprueba si los puntos A, B y C pertenecen al plano.

b) Halla la ecuación general del plano.


Escriba las ecuaciones paramétricas, continua e implícita de la recta que pasa por los puntos A(1,2,4) y B(0,-2, -5)


Dados los puntos A(3, -1, 0) y B(1, -5, 3) se considera la recta r que pasa por ambos. Se pide:

a) Halla un vector director de r.

b) Obtén la ecuación vectorial, paramétrica, continua e implícita (o general) de r.


Dados el punto P(3, -2, 1) y los vectores \vec{v}=(2,4,-1) y \vec{w}=(0,-2,3) se pide:

a) Halla la ecuación vectorial, paramétrica e implícita (o general) del plano \pi que forman.

b) Comprueba si los puntos A(3, 2, 1) y B(2, 3, -9) pertenecen o no al plano \pi.


Considera la recta r que pasa por el punto A(1,-2,5) y lleva la dirección del vector \vec{v}=(-2,-2,0)
Se pide:

a) Halla su ecuación paramétrica.

b) Halla su ecuación continua.

c) Halla su ecuación implícita.

d) Estudia la posición relativa de la recta r respecto a la s:
\frac{x-3}{-2}=\frac{y-3}{2}=z-1


Halla los valores de m y n para que los siguientes puntos estén alineados:
P(7,-1,m) , Q(8,6,3) , R(10,n,9)


Los puntos A(1,3,-1) , B(2,0,2) y C(4,-1,-3) son los vértices consecutivos de un paralelogramo. Halla el cuarto vértice y el centro del paralelogramo


Dadas las rectas
R_1 \equiv 
\left\{ 
\begin{array}{lll}
x+y-2z=0
\\2x-3y+z-1=0
\end{array}
\right.
y R_2 \equiv \left\{
\begin{array}{lll}
x= 3 \lambda \\
y = 1 - 2\lambda \\
z = 2 +\lambda
\end{array}
\right.
- a) Halla los puntos de corte entre R_2 y el plano \pi : x-3y-2z=2
- b) Halla la ecuación de un plano que sea perpendicular a R_1 y que pase por el punto de corte hallado en el apartado a)


Considera los puntos A(1,0,2) , B(-1,3,1) y C(2,1,2)

- (a) Halla la ecuación del plano que contiene a A, B y C
- (b) Halla el área del triángulo de vértices A, B y C


Dados los puntos A(1,2,3), B(1,0,0) y C(0,1,1), se pide:

- a) Ecuación del plano \pi que pasa por A, B y C
- b) Vector normal al plano \pi
- c) Ecuación de una recta perpendicular al plano \pi y que pase por el punto (0,0,1)


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