EJERCICIOS RESUELTOS - Geometría en el Espacio

Ejercicios de Geometría en el espacio. Bachillerato

Dados los puntos A(1,1,0) y B(0,2,-1), escriba las ecuaciones paramétricas, continua e implícitas de la recta que pasa por los puntos A y B


Dados los vectores \vec{u}=(2,-1,5) , \vec{v}=(1,-8,7) y \vec{w}=(1,1,0) , se pide:

- a) ¿Son linealmente dependientes los 3 vectores?
- b) Calula \vec{u} \times \vec{w} (producto vectorial)
- c) Encuentra dos vectores paralelos al vector \vec{u}
- d) Encuentra dos vectores perpendiculares al vector \vec{u}
- e) Halla el ángulo que forman los vectores \vec{u} y \vec{v}


Calcula las coordenadas de un vector \vec{a} de módulo 5 que sea perpendicular al mismo tiempo a los vectores \vec{b}= (2, -3, 0) y \vec{c}= (1, -4, 1), expresados respecto de la misma base ortonormal que el vector \vec{a}


Dados los vectores \vec{u}=(-2,1,5) , \vec{v}=(3,-1,7) y \vec{w}=(1,2,0) , se pide:

- a) ¿Son linealmente dependientes los 3 vectores?
- b) Calula \vec{u} \times \vec{w} (producto vectorial)
- c) Encuentra dos vectores paralelos al vector \vec{u}
- d) Encuentra dos vectores perpendiculares al vector \vec{u}
- e) Halla el ángulo que forman los vectores \vec{u} y \vec{v}


Consideramos los puntos A(1,1,0) , B(0,1,2) y C(1,1,1).

- a) Calcula d(A,B) (distancia entre los puntos A y B)
- b) \vec{AB} \cdot \vec{AC} (producto escalar)
- c) Calcula el perímetro del triángulo de vértices A, B y C
- d) Halla el área del triángulo de vértices A, B y C


Halla dos puntos y dos vectores directores de la recta
r \equiv 
\left\{ 
\begin{array}{lll}
x=3-2t
\\y = -1+3t
\\z = 2+2t
\end{array}
\right.


Halla dos puntos y dos vectores directores de la recta
r \equiv 
\left\{ 
\begin{array}{lll}
3x+2y-7=0
\\2x+2z-10=0
\end{array}
\right.


Halla la ecuación del plano que pasa por los puntos A(2,3,5) , B(1,1,2) y C(3,6,10)


Dados los puntos A(1,-2,5), B(1,0,1) y C(0,-1,1), se pide:

- a) Ecuación del plano \pi que pasa por A, B y C
- b) Vector normal al plano \pi
- c) Ecuación de una recta perpendicular al plano \pi y que pase por el punto (0,0,1)


La Gran Pirámide de Guiza (también conocida como Pirámide de Keops o de Jufu) es la más antigua de las siete maravillas del mundo y la única que aún perdura, además de ser la mayor de las pirámides de Egipto. Ayúdanos a conocer un poco más de la Gran Pirámide, siguiendo los siguientes pasos:

1) La base de la pirámide está formada por los cuatro puntos de los cuales tres puntos son A=(-5,-5,0), B=(-5,5,0) y C=(5,-5,0). Forma los vectores \vec{AB} y \vec{AC}, comprueba que son linealmente independientes y calcula el área del paralelogramo que forman haciendo uso del producto vectorial. Sabiendo que la longitud es 1=23 \: m y por tanto la superficie es 1=529 \: m^2 ¿Cuántos metros cuadrados de superficie tiene la Gran Pirámide?

2) Si la vertical del centro de la pirámide sigue esta ecuación:
r \equiv \left\{ x=0 \atop y=0 \right.
Y el lado de la puerta (donde está el \vec{AC}) es la recta de ecuación:
s \equiv \left\{ y=-5 \atop z=0 \right.

¿Cuántos metros hay de la puerta al centro de la pirámide, O? Demuéstralo con la distancia entre dos rectas (1=23 m)

3) Sabiendo que la cúspide (D) está en el (0,0,6) calcular las ecuaciones vectoriales y paramétricas de las dos rectas u y v que forma los lados (\vec{AD} y \vec{CD})

4) Halla el plano que contiene a la puerta (0,-5,0) y es un lado de la pirámide. Halla el plano que es vertical y contiene a la puerta y al centro O. Interseca ambos planos obteniendo la ecuación de la recta h. Comprueba que es la misma recta que pasa por la puerta y la cúspide D.


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