EJERCICIOS RESUELTOS - Programación Lineal

Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II (2º Bachillerato)

Se considera el recinto R del plano, determinado por las siguientes inecuaciones:

$x+y \ge 2$ , $\: x+3y \le 15$ , $\: 3x-y \le 15$ , $\: x \ge 0$ , $\: y \ge 0$

(a) Represente gráficamente el recinto R y calcule sus vértices
(b) Halle los valores máximo y mínimo que alcanza la función $F(x,y)=3x+y$ en dicho recinto
(c) Razone si existen puntos (x,y) del recinto, para los que $F(x,y)=30$

Solución

Sea $R$ la región factible definida por las siguientes inecuaciones $x \geq 3y$ , $x \leq 5$ , $y \geq 1$ .

a) (0.5 puntos) Razone si el punto $(4.5, 1.55)$ pertenece a $R$ .
b) (1.5 puntos) Dada la función objetivo $F(x,y)=2x-3y$ , calcule sus valores extremos en $R$ .
c) (0.5 puntos) Razone si hay algún punto de $R$ donde la función $F$ valga $3.5$ . ¿Y $7.5$ ?

Solución

a) Represente gráficamente la región definida por las siguientes inecuaciones y calcule sus vértices $x+2y \leq 3$ ; $x-y \leq 1$ ; $x \geq -1$ ; $y \geq 0$
b) Calcule los valores máximo y mínimo de la función objetivo $F(x,y)=2x+4y$ en la región anterior y los puntos donde se alcanzan.

Solución

a) Represente el recinto definido por las siguientes inecuaciones:
$x+y \leq 3 \qquad 2x+y \geq 4 \qquad y \geq -1$
b) Razone si el punto (2, 1) pertenece al recinto anterior.
c) Obtenga los vértices del recinto y los valores mínimo y máximo de la función $F(x,y)=5x+4y$ en ese recinto, indicando en qué puntos se alcanzan.
d) Razone si la función F puede alcanzar el valor 9 en el recinto anterior.

Solución

a) Plantee, sin resolver, las restricciones de este problema e indique la función a optimizar:
"Un ganadero alimenta a sus ovejas con maíz y pienso. Cada kilogramo de maíz aporta 600 g de hidratos de carbono y 200 g de proteínas, mientras que cada kilogramo de pienso aporta 300 g de hidratos de carbono y 600 g de proteínas. Cada oveja necesita diariamente como mínimo 1800 g de hidratos de carbono y 2400 g de proteínas. Si 1 kg de maíz cuesta 0.50 euros y 1 kg de pienso cuesta 0.25 euros, calcule cuántos kilogramos de cada producto tendría que comprar el ganadero para alimentar cada día a una oveja con un gasto mínimo".

b) Represente el recinto limitado por las siguientes restricciones, calculando sus vértices
$x \geq 0 \qquad x \leq 2y+2 \qquad x+y \leq 5$

Calcule el máximo de $F(x,y)=4x+3y$ en ese recinto, así como el punto donde se alcanza
.

Solución

a) Dadas las inecuaciones
$y \leq x + 5, \qquad 2x + y \geq -4, \qquad 4x \leq 10 -y, \qquad y \geq 0$
represente el recinto que limitan y calcule sus vértices.
b) (0.7 puntos) Obtenga el máximo y el mínimo de la función $f(x,y) =x+ \frac{1}{2}y$ en el recinto anterior, así como los puntos en los que se alcanzan.